Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10707
2019-09-14 
Вы находитесь на судне, которое идет на восток с постоянной скоростью 15 узлов. Корабль, идущий постоянным курсом с известной скоростью 26 узлов, находится в 6 милях южнее. Позднее он проходит у вас за кормой, причем расстояние наибольшего сближения составляет 3 мили.
а) Найдите курс этого корабля.
б) Какое время прошло между двумя моментами, описанными в задаче?
Решение:
а) Выберем систему координат так, чтобы ось х была направлена строго на восток, а ось у-на север. Предположим далее, что второй корабль в начальный момент времени находится в начале координат О, а вектор его скорости $\vec{v}_{2}$ образует угол $\alpha$ с осью ОХ. Очевидно, первый корабль находится в точке В, лежащей на оси у на расстоянии 6 миль от О, а его скорость направлена параллельно оси х.
Таким образом изменение координат кораблей со временем дается выражениями
$x_{1} = v_{1}t, y_{1}=6$,
$x_{2} = v_{2}t \cos \alpha, y_{2} = v_{2}t \sin \alpha$.
Квадрат расстояния между двумя кораблями, очевидно, равен
$r^{2} = ( \vec{r}_{1} - \vec{r}_{2})^{2} = (15 - 26 \cos \alpha)^{2} + (6 - 26t \sin \alpha)^{2}$,
В условии задачи дано, что минимальное расстояние между кораблями равно 3 милям. Значит, $r^{2}$ как функция времени $t$ имеет минимум при некотором значении времени $t = t_{min}$. Но в этот момент времени производная от $r^{2}$ обращается в нуль:
$\frac{dr^{2} (t_{min})}{dt} = 0$,
поэтому
$2(15-26 \cos \alpha)^{2} t_{min} - 2(6 - 26 t_{min} \sin \alpha ) 26 \sin \alpha = 0$,
откуда
$t_{min} = \frac{6 \cdot 26 \sin \alpha}{15^{2} - 30 \cdot 26 \cos \alpha + 26^{2} }$.
Наконец, из того, что $r^{2}(t_{min}) = 9$, находим
$6^{2} \cdot 26 \cos^{2} \alpha - 27 \cdot 30 \cos \alpha = 0$,
откуда $\cos \alpha_{1} = 0 ( \alpha_{1} = 90^{ \circ})$ и $\cos \alpha_{2} = 0,866 ( \alpha_{2} = 30°)$.
б) При меньшем значении угла $\alpha_{2} = 30^{ \circ}$ второй корабль проходит перед носом первого на расстоянии 3 миль, поэтому это значение угла должно быть исключено по условию задачи. Таким образом, второй корабль движется курсом строго на север и окажется на минимальном расстоянии от первого через $t_{min} = 0,17$ час от начального момента.
Вы находитесь на судне, которое идет на восток с постоянной скоростью 15 узлов. Корабль, идущий постоянным курсом с известной скоростью 26 узлов, находится в 6 милях южнее. Позднее он проходит у вас за кормой, причем расстояние наибольшего сближения составляет 3 мили.
а) Найдите курс этого корабля.
б) Какое время прошло между двумя моментами, описанными в задаче?
Решение:
а) Выберем систему координат так, чтобы ось х была направлена строго на восток, а ось у-на север. Предположим далее, что второй корабль в начальный момент времени находится в начале координат О, а вектор его скорости $\vec{v}_{2}$ образует угол $\alpha$ с осью ОХ. Очевидно, первый корабль находится в точке В, лежащей на оси у на расстоянии 6 миль от О, а его скорость направлена параллельно оси х.
Таким образом изменение координат кораблей со временем дается выражениями
$x_{1} = v_{1}t, y_{1}=6$,
$x_{2} = v_{2}t \cos \alpha, y_{2} = v_{2}t \sin \alpha$.
Квадрат расстояния между двумя кораблями, очевидно, равен
$r^{2} = ( \vec{r}_{1} - \vec{r}_{2})^{2} = (15 - 26 \cos \alpha)^{2} + (6 - 26t \sin \alpha)^{2}$,
В условии задачи дано, что минимальное расстояние между кораблями равно 3 милям. Значит, $r^{2}$ как функция времени $t$ имеет минимум при некотором значении времени $t = t_{min}$. Но в этот момент времени производная от $r^{2}$ обращается в нуль:
$\frac{dr^{2} (t_{min})}{dt} = 0$,
поэтому
$2(15-26 \cos \alpha)^{2} t_{min} - 2(6 - 26 t_{min} \sin \alpha ) 26 \sin \alpha = 0$,
откуда
$t_{min} = \frac{6 \cdot 26 \sin \alpha}{15^{2} - 30 \cdot 26 \cos \alpha + 26^{2} }$.
Наконец, из того, что $r^{2}(t_{min}) = 9$, находим
$6^{2} \cdot 26 \cos^{2} \alpha - 27 \cdot 30 \cos \alpha = 0$,
откуда $\cos \alpha_{1} = 0 ( \alpha_{1} = 90^{ \circ})$ и $\cos \alpha_{2} = 0,866 ( \alpha_{2} = 30°)$.
б) При меньшем значении угла $\alpha_{2} = 30^{ \circ}$ второй корабль проходит перед носом первого на расстоянии 3 миль, поэтому это значение угла должно быть исключено по условию задачи. Таким образом, второй корабль движется курсом строго на север и окажется на минимальном расстоянии от первого через $t_{min} = 0,17$ час от начального момента.
