Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10700
2019-09-14 
Ракета, первоначальная масса которой $M_{0} кг$, выбрасывает продукты сгорания топлива с постоянной скоростью $v_{0}$ (по отношению к ракете). В 1 сек выбрасывается $\frac{dm}{dt}= - r_{0} \frac{кг}{сек}$ газов.
а) Рассчитайте ускорение ракеты в начальный момент, пренебрегая силой тяжести.
б) Если скорость истечения $v_{0} = 2,0 км/сек$, сколько килограммов газов в секунду необходимо выбрасывать для создания тяги $10^{5} кГ$?
в) Запишите дифференциальное уравнение, которое связывает скорость ракеты с ее остаточной массой, и, если можете, решите это уравнение.
Решение:
а) Можно считать, что в самом начале движения масса ракеты остается все время постоянной и равной $M_{0}$, т. е. можно пренебречь массой истекающих газов по сравнению с начальной массой ракеты. Кроме того, можно считать скорость газов относительно Земли постоянной и равной $v_{0}$, так как скорость ракеты очень мала. Если внаййле ракета покоилась, то количество движения ракеты вместе с топливом равно нулю. За время $t$ из ракеты выбрасывается $r_{0}t$ кг газа со скоростью $v_{0}$, сама ракета начинает двигаться со скоростью $v$ в противоположном направлении. Из закона сохранения количества движения $v_{0}r_{0}t = M_{0}v$, или $v = \frac{v_{0}r_{0}}{M_{0}} t$. Ускорение же ракеты равно
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{v_{0}r_{0} }{M_{0} }$.
б) Силой тяги называется произведение массы ракеты на ускорение. Как было показано в пункте (а), это ускорение равно $\frac{v_{0}r_{0}}{M_{0}}$, откуда $F = v_{0}r_{0}$. Следовательно, расход топлива для создания необходимой силы тяги есть
$r_{0} = \frac{F}{v_{0} } = \frac{9,8 \cdot 10^{5} ньютон}{2 \cdot 10^{3} м/сек} = 490 кг/сек$.
Мы здесь рассматривали силу тяги и расход топлива только в начальный момент времени. Ниже будет показано, что при постоянной относительной скорости истечения газов $v_{0}$ сила тяги тоже постоянна, т. е. полученный результат справедлив в любой момент времени.
в) Пусть $M$-масса ракеты, a $v$-ее скорость в произвольный момент времени $t$. За промежуток времени dt из ракеты будет выброшено $r_{0} dt$ газов со скоростью (относительно Земли) $v - v_{0}$, в результате чего скорость ракеты возрастет на $dv$. Согласно закону сохранения количества движения,
$Mv = (v - v_{0}) r_{0} dt + (v + dv) (M - r_{0} dt)$,
откуда следует
$Mdt = r_{0}v_{0}$.
В левой части полученного уравнения стоит произведение массы ракеты в данный момент времени на ее ускорение $dv/dt$, следовательно, в правой части стоит сила $F$. Как видим, при постоянных $r_{0}$ и $v_{0}$ она также постоянна. Но $M = M_{0} - r_{0}t$, так что
$\frac{dv}{v_{0} } = \frac{r_{0}dt}{M_{0} - r_{0}t}$.
Интегрируя правую и левую части, получаем зависимость скорости ракеты от времени
$\frac{v}{v_{0} } = - ln (M_{0} - r_{0}t ) + C$.
Интеграл, стоящий в правой части, можно найти в математическом справочнике. Во всяком случае, пользуясь приближенной формулой $ln(1 + x) \approx x$ при $x \ll 1$, можно показать, что
$\frac{d ln x}{dx} = lim_{ \Delta x \rightarrow 0} \frac{ln(x + \Delta x) - ln x}{ \Delta x} = \lim_{ x \rightarrow 0} \frac{ln \left (x \left ( 1 + \frac{ \Delta x}{x} \right ) - ln x \right ) }{ \Delta x} = lim_{ x \rightarrow 0} \frac{ln \left ( 1 + \frac{ \Delta x}{x} \right ) }{ \Delta x} = \frac{1}{x}$.
Постоянная $C$ определяется начальными условиями. Если при $t = 0$ ракета покоилась, то $C = ln M_{0}$. Поэтому
$v = v_{0} ln \frac{M_{0} }{M_{0} - rt } = v_{0} ln \frac{M_{0} }{M}$.
Ракета, первоначальная масса которой $M_{0} кг$, выбрасывает продукты сгорания топлива с постоянной скоростью $v_{0}$ (по отношению к ракете). В 1 сек выбрасывается $\frac{dm}{dt}= - r_{0} \frac{кг}{сек}$ газов.
а) Рассчитайте ускорение ракеты в начальный момент, пренебрегая силой тяжести.
б) Если скорость истечения $v_{0} = 2,0 км/сек$, сколько килограммов газов в секунду необходимо выбрасывать для создания тяги $10^{5} кГ$?
в) Запишите дифференциальное уравнение, которое связывает скорость ракеты с ее остаточной массой, и, если можете, решите это уравнение.
Решение:
а) Можно считать, что в самом начале движения масса ракеты остается все время постоянной и равной $M_{0}$, т. е. можно пренебречь массой истекающих газов по сравнению с начальной массой ракеты. Кроме того, можно считать скорость газов относительно Земли постоянной и равной $v_{0}$, так как скорость ракеты очень мала. Если внаййле ракета покоилась, то количество движения ракеты вместе с топливом равно нулю. За время $t$ из ракеты выбрасывается $r_{0}t$ кг газа со скоростью $v_{0}$, сама ракета начинает двигаться со скоростью $v$ в противоположном направлении. Из закона сохранения количества движения $v_{0}r_{0}t = M_{0}v$, или $v = \frac{v_{0}r_{0}}{M_{0}} t$. Ускорение же ракеты равно
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{v_{0}r_{0} }{M_{0} }$.
б) Силой тяги называется произведение массы ракеты на ускорение. Как было показано в пункте (а), это ускорение равно $\frac{v_{0}r_{0}}{M_{0}}$, откуда $F = v_{0}r_{0}$. Следовательно, расход топлива для создания необходимой силы тяги есть
$r_{0} = \frac{F}{v_{0} } = \frac{9,8 \cdot 10^{5} ньютон}{2 \cdot 10^{3} м/сек} = 490 кг/сек$.
Мы здесь рассматривали силу тяги и расход топлива только в начальный момент времени. Ниже будет показано, что при постоянной относительной скорости истечения газов $v_{0}$ сила тяги тоже постоянна, т. е. полученный результат справедлив в любой момент времени.
в) Пусть $M$-масса ракеты, a $v$-ее скорость в произвольный момент времени $t$. За промежуток времени dt из ракеты будет выброшено $r_{0} dt$ газов со скоростью (относительно Земли) $v - v_{0}$, в результате чего скорость ракеты возрастет на $dv$. Согласно закону сохранения количества движения,
$Mv = (v - v_{0}) r_{0} dt + (v + dv) (M - r_{0} dt)$,
откуда следует
$Mdt = r_{0}v_{0}$.
В левой части полученного уравнения стоит произведение массы ракеты в данный момент времени на ее ускорение $dv/dt$, следовательно, в правой части стоит сила $F$. Как видим, при постоянных $r_{0}$ и $v_{0}$ она также постоянна. Но $M = M_{0} - r_{0}t$, так что
$\frac{dv}{v_{0} } = \frac{r_{0}dt}{M_{0} - r_{0}t}$.
Интегрируя правую и левую части, получаем зависимость скорости ракеты от времени
$\frac{v}{v_{0} } = - ln (M_{0} - r_{0}t ) + C$.
Интеграл, стоящий в правой части, можно найти в математическом справочнике. Во всяком случае, пользуясь приближенной формулой $ln(1 + x) \approx x$ при $x \ll 1$, можно показать, что
$\frac{d ln x}{dx} = lim_{ \Delta x \rightarrow 0} \frac{ln(x + \Delta x) - ln x}{ \Delta x} = \lim_{ x \rightarrow 0} \frac{ln \left (x \left ( 1 + \frac{ \Delta x}{x} \right ) - ln x \right ) }{ \Delta x} = lim_{ x \rightarrow 0} \frac{ln \left ( 1 + \frac{ \Delta x}{x} \right ) }{ \Delta x} = \frac{1}{x}$.
Постоянная $C$ определяется начальными условиями. Если при $t = 0$ ракета покоилась, то $C = ln M_{0}$. Поэтому
$v = v_{0} ln \frac{M_{0} }{M_{0} - rt } = v_{0} ln \frac{M_{0} }{M}$.
