Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 107
2014-05-31 
Тонкий обруч расположен в горизонтальной плоскости. На обруч насажены два шарика, которые могут скользить без трения по обручу (на рис. вид сверху). Массы шариков $m_{1}$ и $m_{2}$. Размеры шариков много меньше радиуса обруча. В начальный момент скорости шариков $v_{1}$ и $v_{2}$. Соударения шариков упругие. Найдите скорости шариков после четвертого столкновения.
Решение:
При абсолютно упругом ударе двух шариков c массами $m_{1}$ и $m_{2}$ и начальными скоростями $v_{1}$ и $v_{2}$ конечные скорости шаров $v_{1}^{\prime}$ и $v_{2}^{\prime}$ определяются из законов сохранения энергии и
импульса
$m_{1}v_{1}^{2}+m_{2}v_{2}^{2}=m_{1}(v_{1}^{\prime})^{2}+ m_{2}(v_{2}^{\prime})^{2}$, (1)
$m_{1} \bar{v_{1}}+m_{2} \bar{v_{2}}=m_{1} \bar{v_{1}^{\prime}}+ m_{2} \bar{v_{2}^{\prime}}$. (2)
Так как размер шариков много меньше размеров обруча, то удар можно считать центральным. При центральном ударе закон сохранения импульса упрощается и принимает вид
$m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}v_{1}^{\prime}+m_{2}v_{2}^{\prime}$. (3)
Очевидно, что система уравнений (1) и (2) имеет два решения, одно из которых $v_{1}=v_{1}^{\prime}$, $ v_{2}= v_{2}^{\prime}$ тривиально и соответствует прохождению шариков "друг сквозь друга" без столкновения. Второе, нетривиальное, решение соответствует реальному физическому процессу столкновения шаров. При повторном ударе шары будут сближаться со скоростями $v_{1}^{\prime}$ и $ v_{2}^{\prime}$. В соответствии с этим правые части уравнений (1) и (2) будут описывать начальные энергии и импульсы шаров.
В силу единственности нетривиального решения этой системы и целые части уравнений будут давать энергии и импульсы шаров после 2-го столкновения, и т. д. После четного столкновения шаров их скорости будут по величине равны первоначальным скоростям.
Тонкий обруч расположен в горизонтальной плоскости. На обруч насажены два шарика, которые могут скользить без трения по обручу (на рис. вид сверху). Массы шариков $m_{1}$ и $m_{2}$. Размеры шариков много меньше радиуса обруча. В начальный момент скорости шариков $v_{1}$ и $v_{2}$. Соударения шариков упругие. Найдите скорости шариков после четвертого столкновения.
Решение:
При абсолютно упругом ударе двух шариков c массами $m_{1}$ и $m_{2}$ и начальными скоростями $v_{1}$ и $v_{2}$ конечные скорости шаров $v_{1}^{\prime}$ и $v_{2}^{\prime}$ определяются из законов сохранения энергии и
импульса
$m_{1}v_{1}^{2}+m_{2}v_{2}^{2}=m_{1}(v_{1}^{\prime})^{2}+ m_{2}(v_{2}^{\prime})^{2}$, (1)
$m_{1} \bar{v_{1}}+m_{2} \bar{v_{2}}=m_{1} \bar{v_{1}^{\prime}}+ m_{2} \bar{v_{2}^{\prime}}$. (2)
Так как размер шариков много меньше размеров обруча, то удар можно считать центральным. При центральном ударе закон сохранения импульса упрощается и принимает вид
$m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}v_{1}^{\prime}+m_{2}v_{2}^{\prime}$. (3)
Очевидно, что система уравнений (1) и (2) имеет два решения, одно из которых $v_{1}=v_{1}^{\prime}$, $ v_{2}= v_{2}^{\prime}$ тривиально и соответствует прохождению шариков "друг сквозь друга" без столкновения. Второе, нетривиальное, решение соответствует реальному физическому процессу столкновения шаров. При повторном ударе шары будут сближаться со скоростями $v_{1}^{\prime}$ и $ v_{2}^{\prime}$. В соответствии с этим правые части уравнений (1) и (2) будут описывать начальные энергии и импульсы шаров.
В силу единственности нетривиального решения этой системы и целые части уравнений будут давать энергии и импульсы шаров после 2-го столкновения, и т. д. После четного столкновения шаров их скорости будут по величине равны первоначальным скоростям.
