Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10699
2019-09-14 
Спутник Земли весом 10 кг со средним поперечным сечением $0,50 м^{2}$ движется по круговой орбите на высоте 200 км, где средний пробег молекул измеряется многими метрами и плотность воздуха равна $1,6 \cdot 10^{-10} кг/м^{3}$. Приближенно будем считать соударения молекул со спутником абсолютно неупругими (молекулы не то чтобы прилипают к спутнику, но отскакивают от него с очень малыми относительными скоростями). Подсчитайте, какая тормозящая сила будет действовать на спутник за счет трения о воздух. Как будет зависеть эта сила от скорости спутника? Будет ли скорость спутника уменьшаться под действием всех приложенных к нему сил? (Учтите зависимость орбитальной скорости спутника от высоты круговой орбиты.)
Решение:
Двигаясь по орбите, спутник в единицу времени сталкивается с молекулами воздуха, занимающими объем $vS$ ($v$ - скорость спутника, $S$ - площадь его поперечного сечения). Масса этого объема воздуха $m_{1} = \rho Sv$, где $\rho$ - плотность воздуха.
Изменение количества движения спутника за этот же промежуток времени $\Delta p = m(v - v^{ \prime})$ равно, очевидно, изменению количества движения массы $m_{1}$ воздуха, т. е.
$\Delta p = m_{1}v = \rho S v^{2}$.
(До столкновения средняя скорость молекулы воздуха относительно Земли равна нулю, после столкновения-скорбсти спутника $v$.)
Но изменение количества движения тела в единицу времени есть просто сила, действующая на тело. Таким образом, тррмозящая сила $F_{торм} = \rho Sv^{2}$, т. е. пропорциональна квадрату Скорости спутника. Найдем ее величину.
Для стационарной орбиты
$\frac{mv^{2} }{R + h} = \frac{GmM}{(R + h)^{2} }$,
откуда
$v^{2} = \frac{GM}{R + h}$
($M$ и $R$ - масса и радиус Земли, $G$ - постоянная тяготения).
Если тело находится на поверхности Земли, то, очевидно,
$mg = \frac{GmM}{R^{2} }$ и $GM = gR^{3} $.
Подставляя это значение $GM$ в выражение для скорости спутника, получаем
$v^{2} = \frac{gR^{2} }{ R + h} \approx gR \left ( 1 - \frac{h}{R} \right )$.
[Здесь мы воспользовались приближенной формулой: $\frac{1}{1-x} \approx 1- x$ при $x \ll 1$.] Таким образом,
$F_{торм} = \rho SgR \left (1 - \frac{h}{R} \right ) \approx 0,5 \cdot 10^{-2}$ ньютон
($\rho = 1,6 \cdot 10^{-10} кг/м^{3}, S = 0,5 м^{2}, g = 9,8 м/сек^{2}, R = 6,37 \cdot 10^{6} м, h = 0,2 \cdot 10^{6} м$).
Как видно из формулы, связывающей высоту и скорость спутника, скорость спутника по мере уменьшения его высоты увеличивается. Может показаться странным, что действие силы торможения приводит к увеличению скорости. Однако дело состоит в том, что при наличии торможения скорость спутника уже не перпендикулярна к направлению силы тяжести, т. е. появляется составляющая силы тяжести, изменяющая величину скорости спутника. Ускоряющее действие этой составляющей превосходит тормозящее действие силы торможения.
Спутник Земли весом 10 кг со средним поперечным сечением $0,50 м^{2}$ движется по круговой орбите на высоте 200 км, где средний пробег молекул измеряется многими метрами и плотность воздуха равна $1,6 \cdot 10^{-10} кг/м^{3}$. Приближенно будем считать соударения молекул со спутником абсолютно неупругими (молекулы не то чтобы прилипают к спутнику, но отскакивают от него с очень малыми относительными скоростями). Подсчитайте, какая тормозящая сила будет действовать на спутник за счет трения о воздух. Как будет зависеть эта сила от скорости спутника? Будет ли скорость спутника уменьшаться под действием всех приложенных к нему сил? (Учтите зависимость орбитальной скорости спутника от высоты круговой орбиты.)
Решение:
Двигаясь по орбите, спутник в единицу времени сталкивается с молекулами воздуха, занимающими объем $vS$ ($v$ - скорость спутника, $S$ - площадь его поперечного сечения). Масса этого объема воздуха $m_{1} = \rho Sv$, где $\rho$ - плотность воздуха.
Изменение количества движения спутника за этот же промежуток времени $\Delta p = m(v - v^{ \prime})$ равно, очевидно, изменению количества движения массы $m_{1}$ воздуха, т. е.
$\Delta p = m_{1}v = \rho S v^{2}$.
(До столкновения средняя скорость молекулы воздуха относительно Земли равна нулю, после столкновения-скорбсти спутника $v$.)
Но изменение количества движения тела в единицу времени есть просто сила, действующая на тело. Таким образом, тррмозящая сила $F_{торм} = \rho Sv^{2}$, т. е. пропорциональна квадрату Скорости спутника. Найдем ее величину.
Для стационарной орбиты
$\frac{mv^{2} }{R + h} = \frac{GmM}{(R + h)^{2} }$,
откуда
$v^{2} = \frac{GM}{R + h}$
($M$ и $R$ - масса и радиус Земли, $G$ - постоянная тяготения).
Если тело находится на поверхности Земли, то, очевидно,
$mg = \frac{GmM}{R^{2} }$ и $GM = gR^{3} $.
Подставляя это значение $GM$ в выражение для скорости спутника, получаем
$v^{2} = \frac{gR^{2} }{ R + h} \approx gR \left ( 1 - \frac{h}{R} \right )$.
[Здесь мы воспользовались приближенной формулой: $\frac{1}{1-x} \approx 1- x$ при $x \ll 1$.] Таким образом,
$F_{торм} = \rho SgR \left (1 - \frac{h}{R} \right ) \approx 0,5 \cdot 10^{-2}$ ньютон
($\rho = 1,6 \cdot 10^{-10} кг/м^{3}, S = 0,5 м^{2}, g = 9,8 м/сек^{2}, R = 6,37 \cdot 10^{6} м, h = 0,2 \cdot 10^{6} м$).
Как видно из формулы, связывающей высоту и скорость спутника, скорость спутника по мере уменьшения его высоты увеличивается. Может показаться странным, что действие силы торможения приводит к увеличению скорости. Однако дело состоит в том, что при наличии торможения скорость спутника уже не перпендикулярна к направлению силы тяжести, т. е. появляется составляющая силы тяжести, изменяющая величину скорости спутника. Ускоряющее действие этой составляющей превосходит тормозящее действие силы торможения.
