Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10691
2019-09-14 
Двое молодых марсиан, Паоло и Франческа, хотят переправиться через марсианский канал Римини, но ни одна гондола не берет их обоих сразу, а переправляться в разных лодках они отказались. Находчивый гондольер Джузеппе умудряется все-таки заработать на их переезде. Он подвешивает эту парочку на мачте (см. рисунок) с помощью невесомых и абсолютно гладких блоков и веревок (характерная особенность всех марсианских конструкций) и быстро переправляет влюбленных через канал, пока ни один из них не успевает коснуться ни мачты, ни палубы. Много ли при этом Джузеппе выигрывает в нагрузке? Напоминаем: натяжение невесомой нити, перекинутой без трения через невесомый блок, одинаково с обеих сторон блока.
Решение:
Нагрузка $N$ на подвес, а следовательно, и на мачту и гондолу при таком способе перевозки марсиан определяется равенством
$N = T_{1} + T$
($T$-натяжение нити, $T_{1}$ - нагрузка на ось неподвижного блока); $T_{1}$ равна сумме натяжений нити с одной и другой стороны неподвижного блока, т. е. $T_{1} = 2T$, так что $N = 3T$.
Запишем уравнения движения обоих марсиан:
$\frac{P}{g} a_{2} = P - 2T$,
$\frac{F}{g} a_{1} = F - T$
(здесь $g$ - ускорение марсианской силы тяжести). Так как веревка нерастяжима, то $a_{1}$ и $a_{2}$ связаны между собой. Очевидно, что при смещении оси подвижного блока вниз на $x_{2}$ груз $F$ поднимется на расстояние $2x_{2}$, т. е. $2x_{2} = - x_{1}$ (грузы смещаются в противоположные стороны). Дважды дифференцируя по времени это соотношение, называемое уравнением связи, получаем
$2a_{2} = - a_{1}$.
Требуется решить уравнения движения совместно с полу чекным уравнением для ускорений.
После простых подстановок имеем
$- \frac{P}{2g} a_{1} = P - 2 \left ( F - \frac{F}{g} a_{1} \right ) = P - 2F + \frac{2F}{g} a_{1}$,
откуда
$a_{1} = \frac{2F - P}{2F + \frac{P}{2} }g = \frac{4F - 2P}{4F + P}g$.
Таким образом,
$T = F - F \frac{4F - 2P}{4F + P} = \frac{3FP}{4F + P}$,
а нагрузка на гондолу
$N = \frac{9FP}{4F + P}$.
В нашем случае $P = 90$ кГ и $F = 60$ кГ, поэтому для $N$ получаем 147 кГ.
Выигрыш в нагрузке на гондолу равен
$\Delta N = (F + P) - N = 3$ кГ.
Гондольер Джузеппе мог бы получить значительно больший выигрыш в нагрузке, если бы поменял влюбленных местами. Нетрудно подсчитать, что в этом случае $N = 116$ кГ, a $\Delta N = 34$ кГ, т. е. выигрыш В нагрузке увеличился бы примерно в 11 раз. Правда, в этом случае Паоло будет двигаться вниз с ускорением, в 3 раза превышающим то, с каким двигалась Франческа при первом способе перевозки, так что Джузеппе придется значительно увеличить скорость гондолы.
Двое молодых марсиан, Паоло и Франческа, хотят переправиться через марсианский канал Римини, но ни одна гондола не берет их обоих сразу, а переправляться в разных лодках они отказались. Находчивый гондольер Джузеппе умудряется все-таки заработать на их переезде. Он подвешивает эту парочку на мачте (см. рисунок) с помощью невесомых и абсолютно гладких блоков и веревок (характерная особенность всех марсианских конструкций) и быстро переправляет влюбленных через канал, пока ни один из них не успевает коснуться ни мачты, ни палубы. Много ли при этом Джузеппе выигрывает в нагрузке? Напоминаем: натяжение невесомой нити, перекинутой без трения через невесомый блок, одинаково с обеих сторон блока.
Решение:
Нагрузка $N$ на подвес, а следовательно, и на мачту и гондолу при таком способе перевозки марсиан определяется равенством
$N = T_{1} + T$
($T$-натяжение нити, $T_{1}$ - нагрузка на ось неподвижного блока); $T_{1}$ равна сумме натяжений нити с одной и другой стороны неподвижного блока, т. е. $T_{1} = 2T$, так что $N = 3T$.
Запишем уравнения движения обоих марсиан:
$\frac{P}{g} a_{2} = P - 2T$,
$\frac{F}{g} a_{1} = F - T$
(здесь $g$ - ускорение марсианской силы тяжести). Так как веревка нерастяжима, то $a_{1}$ и $a_{2}$ связаны между собой. Очевидно, что при смещении оси подвижного блока вниз на $x_{2}$ груз $F$ поднимется на расстояние $2x_{2}$, т. е. $2x_{2} = - x_{1}$ (грузы смещаются в противоположные стороны). Дважды дифференцируя по времени это соотношение, называемое уравнением связи, получаем
$2a_{2} = - a_{1}$.
Требуется решить уравнения движения совместно с полу чекным уравнением для ускорений.
После простых подстановок имеем
$- \frac{P}{2g} a_{1} = P - 2 \left ( F - \frac{F}{g} a_{1} \right ) = P - 2F + \frac{2F}{g} a_{1}$,
откуда
$a_{1} = \frac{2F - P}{2F + \frac{P}{2} }g = \frac{4F - 2P}{4F + P}g$.
Таким образом,
$T = F - F \frac{4F - 2P}{4F + P} = \frac{3FP}{4F + P}$,
а нагрузка на гондолу
$N = \frac{9FP}{4F + P}$.
В нашем случае $P = 90$ кГ и $F = 60$ кГ, поэтому для $N$ получаем 147 кГ.
Выигрыш в нагрузке на гондолу равен
$\Delta N = (F + P) - N = 3$ кГ.
Гондольер Джузеппе мог бы получить значительно больший выигрыш в нагрузке, если бы поменял влюбленных местами. Нетрудно подсчитать, что в этом случае $N = 116$ кГ, a $\Delta N = 34$ кГ, т. е. выигрыш В нагрузке увеличился бы примерно в 11 раз. Правда, в этом случае Паоло будет двигаться вниз с ускорением, в 3 раза превышающим то, с каким двигалась Франческа при первом способе перевозки, так что Джузеппе придется значительно увеличить скорость гондолы.
