Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10689
2019-09-14 
Если изготовить модель Солнечной системы в одну $k$-ю натуральной величины из материалов той же самой средней плотности, которая известна для настоящих планет и Солнца, то как будут зависеть от «масштабного фактора» $k$ периоды обращения «планет» модели по своим орбитам?
Решение:
В модели Солнечной системы все расстояния измеряются числами, в $k$ раз меньшими, чем в «натуральной» системе. Представим себе, что это изменение чисел произошло не вследствие реального уменьшения размеров системы, а в результате перехода к новой системе единиц, такой, что $l^{ \prime} = kl$. Но тогда и все единицы, размерность которых включает длину, так же претерпят определенные изменения. В частности, плотность $\rho = \frac{m}{l^{3}}$ станет равной
$\rho^{ \prime} = \frac{m^{ \prime} }{l^{ \prime 3} } = \frac{m^{ \prime} }{k^{3}l^{3} }$.
По условию задачи $\rho^{ \prime} = \rho$. Это значит, что нужно взять новую единицу измерения не только для длины, но и для массы тела, причем, очевидно, $m^{ \prime} = k^{3}m$.
Как было показано в задаче 10647, период обращения $T$ планеты вокруг Солнца выражается через суммарную массу $M$ Солнца и планеты и большую полуось орбиты $R$, так что
$T^{2} = \frac{ (2 \pi)^{2} R^{3}}{GM}$.
В новой системе единиц
$T^{ \prime 2} = \frac{(2 \pi)^{2} R^{ \prime 3}}{G^{ \prime}M^{ \prime} } = \frac{(2 \pi )^{2} R^{3}}{GM}$.
Здесь мы использовали доказанное в предыдущей задаче соотношение
$G^{ \prime} M^{ \prime} = \frac{k^{ 3}}{ \tau^{2}} GM$.
(Роль $\lambda$ задачи 10688 у нас играет $k$, а $\tau = 1$.) Таким образом, мы убеждаемся, что периоды обращения «планет» в изготовленной модели будут такими же, как и в реальной Солнечной системе.
Если изготовить модель Солнечной системы в одну $k$-ю натуральной величины из материалов той же самой средней плотности, которая известна для настоящих планет и Солнца, то как будут зависеть от «масштабного фактора» $k$ периоды обращения «планет» модели по своим орбитам?
Решение:
В модели Солнечной системы все расстояния измеряются числами, в $k$ раз меньшими, чем в «натуральной» системе. Представим себе, что это изменение чисел произошло не вследствие реального уменьшения размеров системы, а в результате перехода к новой системе единиц, такой, что $l^{ \prime} = kl$. Но тогда и все единицы, размерность которых включает длину, так же претерпят определенные изменения. В частности, плотность $\rho = \frac{m}{l^{3}}$ станет равной
$\rho^{ \prime} = \frac{m^{ \prime} }{l^{ \prime 3} } = \frac{m^{ \prime} }{k^{3}l^{3} }$.
По условию задачи $\rho^{ \prime} = \rho$. Это значит, что нужно взять новую единицу измерения не только для длины, но и для массы тела, причем, очевидно, $m^{ \prime} = k^{3}m$.
Как было показано в задаче 10647, период обращения $T$ планеты вокруг Солнца выражается через суммарную массу $M$ Солнца и планеты и большую полуось орбиты $R$, так что
$T^{2} = \frac{ (2 \pi)^{2} R^{3}}{GM}$.
В новой системе единиц
$T^{ \prime 2} = \frac{(2 \pi)^{2} R^{ \prime 3}}{G^{ \prime}M^{ \prime} } = \frac{(2 \pi )^{2} R^{3}}{GM}$.
Здесь мы использовали доказанное в предыдущей задаче соотношение
$G^{ \prime} M^{ \prime} = \frac{k^{ 3}}{ \tau^{2}} GM$.
(Роль $\lambda$ задачи 10688 у нас играет $k$, а $\tau = 1$.) Таким образом, мы убеждаемся, что периоды обращения «планет» в изготовленной модели будут такими же, как и в реальной Солнечной системе.
