Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10688
2019-09-14 
Чему будет равно численное значение величины $GM_{сол}$, если расстояние измерять в астрономических единицах, а время в годах?
Решение:
Заметим прежде всего, что величина $GM_{сол}$ в штрихованной системе единиц и в системе MKS связаны между собой соотношением
$G^{ \prime}M_{сол}^{ \prime} = \frac{ \lambda^{3} }{ \mu \tau^{2} } G \mu M_{сол} = \frac{ \lambda^{3} }{ \tau^{2} } GM_{сол}$.
В системе MKS $G = 6,67 \cdot 10^{-11} ньютон \cdot м^{2}/кг^{3}, M_{сол} \approx 2 \cdot 10^{30} кг$, поэтому $GM_{сол} = 13,34 \cdot 10^{19} м^{3}/с^{2}$. Вычислим $\lambda$ и $\tau$.
За единицу длины в рассматриваемой системе единиц берется длина большой полуоси орбиты Земли, т. е. расстояние в $14,9 \cdot 10^{10} м$. Поэтому длина $l^{ \prime}$ в А.Е. через длину $l$ выражается так:
$l^{ \prime} = \frac{l}{14,9 \cdot 10^{10}}$ (т.е. $ \lambda^{-1} = 14,9 \cdot 10^{10}$ ).
Аналогично, $\tau^{-1} = 3,15 \cdot 10^{7}$ (число секунд в году). Таким образом,
$G^{ \prime} M_{ сол}^{ \prime} = 3 \cdot 10^{ -19} GM_{сол} \approx 40 (А. Е.)^{3}/лет^{2}$.
Величину $G^{ \prime}M_{ сол}^{ \prime}$ можно легко вычислить и другим способом, если вспомнить выражение для периода обращения планеты, полученное нами в задаче 10647:
$T^{2} = \frac{(2 \pi)^{2} R^{3}}{G(M_{1} + M_{2} )}$.
Применяя эту формулу для системы Солнце -Земля и Пренебрегая массой Земли по сравнению с массой Солнца, получаем
$GM_{ сол} = \frac{(2 \pi )^{2} R^{3} }{T^{2} }$.
Но $R = 1 А.Е.$, а $T = 1$ год, так что $G^{ \prime} M_{ сол} = (2 \pi)^{2} \approx 40$.
Чему будет равно численное значение величины $GM_{сол}$, если расстояние измерять в астрономических единицах, а время в годах?
Решение:
Заметим прежде всего, что величина $GM_{сол}$ в штрихованной системе единиц и в системе MKS связаны между собой соотношением
$G^{ \prime}M_{сол}^{ \prime} = \frac{ \lambda^{3} }{ \mu \tau^{2} } G \mu M_{сол} = \frac{ \lambda^{3} }{ \tau^{2} } GM_{сол}$.
В системе MKS $G = 6,67 \cdot 10^{-11} ньютон \cdot м^{2}/кг^{3}, M_{сол} \approx 2 \cdot 10^{30} кг$, поэтому $GM_{сол} = 13,34 \cdot 10^{19} м^{3}/с^{2}$. Вычислим $\lambda$ и $\tau$.
За единицу длины в рассматриваемой системе единиц берется длина большой полуоси орбиты Земли, т. е. расстояние в $14,9 \cdot 10^{10} м$. Поэтому длина $l^{ \prime}$ в А.Е. через длину $l$ выражается так:
$l^{ \prime} = \frac{l}{14,9 \cdot 10^{10}}$ (т.е. $ \lambda^{-1} = 14,9 \cdot 10^{10}$ ).
Аналогично, $\tau^{-1} = 3,15 \cdot 10^{7}$ (число секунд в году). Таким образом,
$G^{ \prime} M_{ сол}^{ \prime} = 3 \cdot 10^{ -19} GM_{сол} \approx 40 (А. Е.)^{3}/лет^{2}$.
Величину $G^{ \prime}M_{ сол}^{ \prime}$ можно легко вычислить и другим способом, если вспомнить выражение для периода обращения планеты, полученное нами в задаче 10647:
$T^{2} = \frac{(2 \pi)^{2} R^{3}}{G(M_{1} + M_{2} )}$.
Применяя эту формулу для системы Солнце -Земля и Пренебрегая массой Земли по сравнению с массой Солнца, получаем
$GM_{ сол} = \frac{(2 \pi )^{2} R^{3} }{T^{2} }$.
Но $R = 1 А.Е.$, а $T = 1$ год, так что $G^{ \prime} M_{ сол} = (2 \pi)^{2} \approx 40$.
