Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10685
2019-09-14 
Мальчик бросает мяч вверх под углом $70^{ \circ}$ к горизонту и попадает прямо в открытое окно, которое расположено на 9,6 м выше его плеча. Мяч влетает в окно горизонтально.
а) С какой скоростью вылетел мяч из руки?
б) Чему равен радиус кривизны траектории мяча, когда он перелетает через подоконник? Можете ли вы определить радиус кривизны траектории в любой момент времени?
Решение:
а) Мяч влетел в окно горизонтально; это означает, что окно находилось в наивысшей точке траектории мяча. Максимальная же высота подъема определяется по формуле
$H = \frac{v^{2}}{2g} \sin^{2} \alpha$,
откуда
$v_{0} = \sqrt{ \frac{2gH}{ \sin^{2} \alpha } } = 14,5 м/сек$.
б) В наивысшей трчке скорость горизонтальна, а ускорение равно $-g$ (ускорение свободного падения), вертикально и, таким образом, перпендикулярно скорости. Поэтому
$g = \frac{v^{2} }{R}$,
откуда
$R = \frac{v^{2} }{g} = 2,46 м$.
Определим теперь радиус кривизны в произвольный момент времени $t$.
Обозначив через $a_{ \perp}$ и $a_{ \parallel}$ компоненты ускорения - перпендикулярную и параллельную скорости, запишем
$a_{ \perp}^{2} = \sqrt{g^{2} - a_{ \parallel}^{2} }$.
Из закона сохранения энергии
$\frac{d}{dt} \left ( \frac{mv^{2} }{2} = mgh \right ) = 0$,
т.е.
$v \frac{dv}{dt} = - g \frac{dh}{dt} = - gv_{y}$.
Вспоминая, что $a_{ \parallel} = \frac{dv}{dt}$, находим
$a_{ \parallel} = - \frac{gv_{y} }{v}$
и
$a_{ \perp} = \frac{gv_{x} }{v}$,
так как $a_{ \perp} = \frac{v^{2} }{R}$,
$R = \frac{v^{2} }{a_{ \perp} } = \frac{v^{3} }{gv_{x} }$.
Далее, $v_{x} = v_{0} \cos \alpha, v_{y} = v_{0} \sin \alpha - gt, v = \sqrt{ v_{x}^{2} + v_{y}^{2} }$, поэтому в произвольный момент времени
$R = \frac{(v_{0}^{2} + g^{2}t^{2} - 2gv_{0} \sin \alpha t )^{3/2} }{gv_{0} \cos \alpha }$
Мальчик бросает мяч вверх под углом $70^{ \circ}$ к горизонту и попадает прямо в открытое окно, которое расположено на 9,6 м выше его плеча. Мяч влетает в окно горизонтально.
а) С какой скоростью вылетел мяч из руки?
б) Чему равен радиус кривизны траектории мяча, когда он перелетает через подоконник? Можете ли вы определить радиус кривизны траектории в любой момент времени?
Решение:
а) Мяч влетел в окно горизонтально; это означает, что окно находилось в наивысшей точке траектории мяча. Максимальная же высота подъема определяется по формуле
$H = \frac{v^{2}}{2g} \sin^{2} \alpha$,
откуда
$v_{0} = \sqrt{ \frac{2gH}{ \sin^{2} \alpha } } = 14,5 м/сек$.
б) В наивысшей трчке скорость горизонтальна, а ускорение равно $-g$ (ускорение свободного падения), вертикально и, таким образом, перпендикулярно скорости. Поэтому
$g = \frac{v^{2} }{R}$,
откуда
$R = \frac{v^{2} }{g} = 2,46 м$.
Определим теперь радиус кривизны в произвольный момент времени $t$.
Обозначив через $a_{ \perp}$ и $a_{ \parallel}$ компоненты ускорения - перпендикулярную и параллельную скорости, запишем
$a_{ \perp}^{2} = \sqrt{g^{2} - a_{ \parallel}^{2} }$.
Из закона сохранения энергии
$\frac{d}{dt} \left ( \frac{mv^{2} }{2} = mgh \right ) = 0$,
т.е.
$v \frac{dv}{dt} = - g \frac{dh}{dt} = - gv_{y}$.
Вспоминая, что $a_{ \parallel} = \frac{dv}{dt}$, находим
$a_{ \parallel} = - \frac{gv_{y} }{v}$
и
$a_{ \perp} = \frac{gv_{x} }{v}$,
так как $a_{ \perp} = \frac{v^{2} }{R}$,
$R = \frac{v^{2} }{a_{ \perp} } = \frac{v^{3} }{gv_{x} }$.
Далее, $v_{x} = v_{0} \cos \alpha, v_{y} = v_{0} \sin \alpha - gt, v = \sqrt{ v_{x}^{2} + v_{y}^{2} }$, поэтому в произвольный момент времени
$R = \frac{(v_{0}^{2} + g^{2}t^{2} - 2gv_{0} \sin \alpha t )^{3/2} }{gv_{0} \cos \alpha }$
