Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10681
2019-06-26 
Докажите, что общая яркость бесконечной системы из одинаковых маяков, воспринимаемая наблюдателем, находящимся в начале системы координат, равна $\frac{ \pi^{2}}{6}$, если один маяк, находящийся в точке с координатой 1 воспринимается наблюдателем, как маяк с единичной яркостью.
Примечание: при решении этой задачи вам поможет знание обратной теоремы Пифагора и закона обратных квадратов.
Решение:
Так как маятник, находящийся на расстоянии 1 воспринимается с единичной яркостью, то можно положить, что яркость $I$, равна
$I = \frac{1}{r^{2} }$; где $r$ - расстояние до наблюдателя.
Таким образом, задача сводится к вычислению следующей суммы:
$I_{полн} = \frac{1}{1^{2} } + \frac{1}{2^{2} } + \frac{1}{3^{2} } + \frac{1}{4^{2} } + \frac{1}{5^{2} } + \cdots$
Рассмотрим окружность, длина которой равна 2. Диаметр такой окружности равен $\frac{2}{ \pi}$. Если наблюдатель стоит напротив одного маяка, то воспринимаемая яркость равна $\frac{ \pi^{2} }{4}$.
Нарисуем окружность, диаметр которой в два раза больше исходной. Проведем диаметр, проходящий через маяк. На концах диаметра разместим два маяка.
В прямоугольном треугольнике АВС (это прямоугольный треугольник, потому что он опирается на диаметр), СО - высота проведенная к гипотенузе. Согласно обратной теореме Пифагора:
$\frac{1}{ OC^{2} } = \frac{1}{AC^{2} } + \frac{1}{BC^{2} } = \frac{ \pi^{2} }{4}$
Таким образом, полученная система из двух маяков воспринимается наблюдателем с той же яркостью, что и исходная.
Повторим операцию. Нарисуем окружность, диаметр которой в два раза больше исходной. Проведем диаметры, проходящие через маяки. На концах диаметров разместим два новых маяка.
Треугольники $CA_{1}A_{2}$ и $CB_{1}B_{2}$ прямоугольные (поскольку опираются на диаметры окружности) и в них также применима обратная теорема Пифагора
$\frac{1}{AC^{2} } = \frac{1}{A_{1}C^{2} } + \frac{1}{A_{2}C^{2} }$
$\frac{1}{BC^{2} } = \frac{1}{B_{1}C^{2} } + \frac{1}{B_{2}C^{2} }$
Поэтому воспринимая наблюдателем яркость новой системы из 4 маяков будет также равна $\frac{ \pi^{2} }{4}$.
Повторим подобную операцию большое число раз. При повторении подобной операции, для наблюдателя окружность будет казаться все более плоской и сведется к следующей системе.
Общая яркость будет оставаться исходной $\frac{ \pi^{2} }{4}$. Поэтому в предельном случае можно записать
$\frac{ \pi^{2} }{4} = \frac{1}{1^{2} } + \frac{1}{ (-1)^{2} } + \frac{1}{3^{2} } + \frac{1}{ (- 3)^{2} } + \frac{1}{5^{2} } + \frac{1}{ (-5)^{2} } + \frac{1}{7^{2} } + \frac{1}{ (- 7)^{2} } + \cdots$
Для решения поставленной задачи достаточно оставить маяки с «одной» стороны. Очевидно, что на них приходится половина воспринимаемой наблюдателем яркости
$I_{неч} = \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{7^{2}} + \cdots = \frac{ \pi^{2} }{8}$
Полученная сумма является суммой всех нечетных обратных квадратов. Для получения искомой необходимо знать сумму четных обратных квадратов.
Можно заметить, что система маяков, находящихся в четных координатах, является отмасштабированной версией изначальной системы: каждый маяк передвинут на расстояние равное удвоенной координате. Полная яркость такой системы будет в четыре раза меньше яркости исходной системы (из-за закона обратных квадратов).
Таким образом:
$I_{полн} = I_{неч} + I_{чет} = I_{неч} + \frac{1}{2} I_{полн}$
$\frac{3}{4} I_{полн} = I_{неч}$
$I_{полн} = \frac{4}{3} I_{неч} = \frac{4}{3} \frac{ \pi^{2} }{8} = \frac{ \pi^{2} }{6}$
Докажите, что общая яркость бесконечной системы из одинаковых маяков, воспринимаемая наблюдателем, находящимся в начале системы координат, равна $\frac{ \pi^{2}}{6}$, если один маяк, находящийся в точке с координатой 1 воспринимается наблюдателем, как маяк с единичной яркостью.
Примечание: при решении этой задачи вам поможет знание обратной теоремы Пифагора и закона обратных квадратов.
Решение:
Так как маятник, находящийся на расстоянии 1 воспринимается с единичной яркостью, то можно положить, что яркость $I$, равна
$I = \frac{1}{r^{2} }$; где $r$ - расстояние до наблюдателя.
Таким образом, задача сводится к вычислению следующей суммы:
$I_{полн} = \frac{1}{1^{2} } + \frac{1}{2^{2} } + \frac{1}{3^{2} } + \frac{1}{4^{2} } + \frac{1}{5^{2} } + \cdots$
Рассмотрим окружность, длина которой равна 2. Диаметр такой окружности равен $\frac{2}{ \pi}$. Если наблюдатель стоит напротив одного маяка, то воспринимаемая яркость равна $\frac{ \pi^{2} }{4}$.
Нарисуем окружность, диаметр которой в два раза больше исходной. Проведем диаметр, проходящий через маяк. На концах диаметра разместим два маяка.
В прямоугольном треугольнике АВС (это прямоугольный треугольник, потому что он опирается на диаметр), СО - высота проведенная к гипотенузе. Согласно обратной теореме Пифагора:
$\frac{1}{ OC^{2} } = \frac{1}{AC^{2} } + \frac{1}{BC^{2} } = \frac{ \pi^{2} }{4}$
Таким образом, полученная система из двух маяков воспринимается наблюдателем с той же яркостью, что и исходная.
Повторим операцию. Нарисуем окружность, диаметр которой в два раза больше исходной. Проведем диаметры, проходящие через маяки. На концах диаметров разместим два новых маяка.
Треугольники $CA_{1}A_{2}$ и $CB_{1}B_{2}$ прямоугольные (поскольку опираются на диаметры окружности) и в них также применима обратная теорема Пифагора
$\frac{1}{AC^{2} } = \frac{1}{A_{1}C^{2} } + \frac{1}{A_{2}C^{2} }$
$\frac{1}{BC^{2} } = \frac{1}{B_{1}C^{2} } + \frac{1}{B_{2}C^{2} }$
Поэтому воспринимая наблюдателем яркость новой системы из 4 маяков будет также равна $\frac{ \pi^{2} }{4}$.
Повторим подобную операцию большое число раз. При повторении подобной операции, для наблюдателя окружность будет казаться все более плоской и сведется к следующей системе.
Общая яркость будет оставаться исходной $\frac{ \pi^{2} }{4}$. Поэтому в предельном случае можно записать
$\frac{ \pi^{2} }{4} = \frac{1}{1^{2} } + \frac{1}{ (-1)^{2} } + \frac{1}{3^{2} } + \frac{1}{ (- 3)^{2} } + \frac{1}{5^{2} } + \frac{1}{ (-5)^{2} } + \frac{1}{7^{2} } + \frac{1}{ (- 7)^{2} } + \cdots$
Для решения поставленной задачи достаточно оставить маяки с «одной» стороны. Очевидно, что на них приходится половина воспринимаемой наблюдателем яркости
$I_{неч} = \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{7^{2}} + \cdots = \frac{ \pi^{2} }{8}$
Полученная сумма является суммой всех нечетных обратных квадратов. Для получения искомой необходимо знать сумму четных обратных квадратов.
Можно заметить, что система маяков, находящихся в четных координатах, является отмасштабированной версией изначальной системы: каждый маяк передвинут на расстояние равное удвоенной координате. Полная яркость такой системы будет в четыре раза меньше яркости исходной системы (из-за закона обратных квадратов).
Таким образом:
$I_{полн} = I_{неч} + I_{чет} = I_{неч} + \frac{1}{2} I_{полн}$
$\frac{3}{4} I_{полн} = I_{неч}$
$I_{полн} = \frac{4}{3} I_{неч} = \frac{4}{3} \frac{ \pi^{2} }{8} = \frac{ \pi^{2} }{6}$
