Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10680
2019-06-26 
На рисунке изображены три объёма. Объёмы 2 и 3 одинаковы, тогда как объём 1 - в 18 раз больше. В первом объёме находится идеальный газ при давлении $P_{1} = 4 МПа$, объёмы 2 и 3 можно считать пустыми. Задачей экспериментатора является получение давления $P_{3} = 6 МПа$ в объёме 3. При этом объёмы 1 и 3 всегда имеют комнатную температуру $T_{0} = 298 K$, изменить которую нельзя. С другой стороны, температуру объёма 2 можно контролируемо варьировать в диапазоне от 80 K (температура жидкого азота) до комнатной температуры. Вентили 1 и 2 можно открывать и закрывать в любом порядке. Считать, что открывание вентиля всегда приводит к выравниванию давлений в объёмах. Предложить любую последовательность допустимых действий, которая позволит получить в объёме 3 давление $P_{3} = 6 МПа$.
Решение:
Получить газ в Объеме 3 можно только из Объёма 2. При соединении этих объемов (вентиль 2 открыт) будет выполнено условие
$P_{2}^{ \prime} = P_{3}^{ \prime}$,
в результате чего равенство Объёмов 2 и 3 даст соотношение
$\nu_{2}^{ \prime} RT_{2}^{ \prime} = \nu_{3}^{ \prime} RT_{3}^{ \prime}$,
где $\nu_{2}^{ \prime}, \nu_{3}^{ \prime}$ - количества вещества в объёмах после соединения, $R$ - универсальная газовая постоянная. Наименьшее количество вещества в Объёме 2 останется при наибольшей температуре $T_{2}^{ \prime}$, так что соединять Объёмы 2 и 3 лучше при комнатной температуре ($T_{2}^{ \prime} = T_{3}^{ \prime} = T_{0} =298 K$).
Теперь, пусть $\nu_{2}$ - количество вещества в Объёме 2 перед объединением с Объёмом 3, удовлетворяющее условию
$\nu_{2} = \nu_{2}^{ \prime} + \nu_{3}^{ \prime}$,
откуда
$\nu_{2} = 2 \nu_{3}^{ \prime} = \frac{2P_{3}^{ \prime}V }{RT_{0} }$, (1)
Далее, в Объем 2 вещество должно поступить из Объёма 1. Давление при соединении этих объёмов будет не больше, чем $P_{1} = 4 МПа$, так что при комнатной температуре в Объём 2 не поступит количество вещества, достаточного для получения 6 Мпа в Объёме 3. Таким образом, при соединении Объёмов 1 и 2 температура Объема 2 $T_{2}$ должна быть ниже комнатной.
Если $P_{1} = 4 МПа$ - исходное давление в Объеме 1, а $\nu_{1} , \nu_{2}, P_{2}$ - количества вещества и давление в объёмах после соединения, то будут выполняться следующие соотношения:
$\nu_{1} + \nu_{2} = \frac{P_{1}V_{1} }{RT_{0} }$,
$P_{2} = \frac{ \nu_{2} RT_{2} }{V_{2} } = \frac{ \nu_{1}RT_{1} }{V_{1} }, T_{1} = T_{0} \Rightarrow \nu_{1} = \frac{T_{2}V_{1} }{T_{0}V_{2} } \nu_{2} \Rightarrow \nu_{2} \left ( \frac{T_{2}V_{1} }{T_{0}V_{2} } + 1 \right ) = \frac{P_{1}V_{1} }{RT_{0} }$.
Учитывая равенство (1), определяем температуру $T_{2}$, которую должен иметь Объём 2 при соединении с Объёмом 1:
$\frac{2P_{3}V}{RT_{0} } \left ( \frac{T_{2}V_{1} }{T_{0}V } + 1 \right ) = \frac{P_{1}V_{1} }{RT_{0} } \Rightarrow (T_{2}V_{1} + T_{0}V ) = \frac{P_{1}V_{1} }{2P_{3}V } T_{0}V \Rightarrow T_{2} = T_{0} \frac{V}{V_{1} } \left ( \frac{P_{1}V_{1} }{2P_{3}V } - 1 \right ) = \frac{5}{18} T_{0} = 82,8 К$.
Ответ: Порядок действий может быть следующим: охладить Объём 2 до температуры $T_{2} = 82,8 K$, соединить с Объёмом 1, после установления равновесия вентиль 1 закрыть (разъединить объёмы), затем Объём 2 нагреть до комнатной температуры, после чего соединить его с Объёмом 3.
На рисунке изображены три объёма. Объёмы 2 и 3 одинаковы, тогда как объём 1 - в 18 раз больше. В первом объёме находится идеальный газ при давлении $P_{1} = 4 МПа$, объёмы 2 и 3 можно считать пустыми. Задачей экспериментатора является получение давления $P_{3} = 6 МПа$ в объёме 3. При этом объёмы 1 и 3 всегда имеют комнатную температуру $T_{0} = 298 K$, изменить которую нельзя. С другой стороны, температуру объёма 2 можно контролируемо варьировать в диапазоне от 80 K (температура жидкого азота) до комнатной температуры. Вентили 1 и 2 можно открывать и закрывать в любом порядке. Считать, что открывание вентиля всегда приводит к выравниванию давлений в объёмах. Предложить любую последовательность допустимых действий, которая позволит получить в объёме 3 давление $P_{3} = 6 МПа$.
Решение:
Получить газ в Объеме 3 можно только из Объёма 2. При соединении этих объемов (вентиль 2 открыт) будет выполнено условие
$P_{2}^{ \prime} = P_{3}^{ \prime}$,
в результате чего равенство Объёмов 2 и 3 даст соотношение
$\nu_{2}^{ \prime} RT_{2}^{ \prime} = \nu_{3}^{ \prime} RT_{3}^{ \prime}$,
где $\nu_{2}^{ \prime}, \nu_{3}^{ \prime}$ - количества вещества в объёмах после соединения, $R$ - универсальная газовая постоянная. Наименьшее количество вещества в Объёме 2 останется при наибольшей температуре $T_{2}^{ \prime}$, так что соединять Объёмы 2 и 3 лучше при комнатной температуре ($T_{2}^{ \prime} = T_{3}^{ \prime} = T_{0} =298 K$).
Теперь, пусть $\nu_{2}$ - количество вещества в Объёме 2 перед объединением с Объёмом 3, удовлетворяющее условию
$\nu_{2} = \nu_{2}^{ \prime} + \nu_{3}^{ \prime}$,
откуда
$\nu_{2} = 2 \nu_{3}^{ \prime} = \frac{2P_{3}^{ \prime}V }{RT_{0} }$, (1)
Далее, в Объем 2 вещество должно поступить из Объёма 1. Давление при соединении этих объёмов будет не больше, чем $P_{1} = 4 МПа$, так что при комнатной температуре в Объём 2 не поступит количество вещества, достаточного для получения 6 Мпа в Объёме 3. Таким образом, при соединении Объёмов 1 и 2 температура Объема 2 $T_{2}$ должна быть ниже комнатной.
Если $P_{1} = 4 МПа$ - исходное давление в Объеме 1, а $\nu_{1} , \nu_{2}, P_{2}$ - количества вещества и давление в объёмах после соединения, то будут выполняться следующие соотношения:
$\nu_{1} + \nu_{2} = \frac{P_{1}V_{1} }{RT_{0} }$,
$P_{2} = \frac{ \nu_{2} RT_{2} }{V_{2} } = \frac{ \nu_{1}RT_{1} }{V_{1} }, T_{1} = T_{0} \Rightarrow \nu_{1} = \frac{T_{2}V_{1} }{T_{0}V_{2} } \nu_{2} \Rightarrow \nu_{2} \left ( \frac{T_{2}V_{1} }{T_{0}V_{2} } + 1 \right ) = \frac{P_{1}V_{1} }{RT_{0} }$.
Учитывая равенство (1), определяем температуру $T_{2}$, которую должен иметь Объём 2 при соединении с Объёмом 1:
$\frac{2P_{3}V}{RT_{0} } \left ( \frac{T_{2}V_{1} }{T_{0}V } + 1 \right ) = \frac{P_{1}V_{1} }{RT_{0} } \Rightarrow (T_{2}V_{1} + T_{0}V ) = \frac{P_{1}V_{1} }{2P_{3}V } T_{0}V \Rightarrow T_{2} = T_{0} \frac{V}{V_{1} } \left ( \frac{P_{1}V_{1} }{2P_{3}V } - 1 \right ) = \frac{5}{18} T_{0} = 82,8 К$.
Ответ: Порядок действий может быть следующим: охладить Объём 2 до температуры $T_{2} = 82,8 K$, соединить с Объёмом 1, после установления равновесия вентиль 1 закрыть (разъединить объёмы), затем Объём 2 нагреть до комнатной температуры, после чего соединить его с Объёмом 3.
