Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10679
2019-06-26 
На идеально гладкой поверхности стоят два кубика. Большой кубик толкают в сторону маленького. Оцените количество соударений (считать как соударения между кубиками, так и соударения маленького кубика со стенкой), если масса $M_{1}$ равна 2 кг, а массы $M_{2}$ варьируются и представлены последовательностью (3, 15, 45, 55, 110 кг). Соударения считать абсолютно упругими.
Решение:
Кинематика двух кубиков описывается законом сохранения энергии и законом сохранения импульса:
$\frac{1}{2} m_{1}v_{1}^{2} + \frac{1}{2} M_{2} v_{2}^{2} = const$
$m_{1}v_{1} + M_{2}v_{2} = const$
Стоит отметить, что закон сохранения энергии справедлив для любого момента времени, в то время как закон сохранения импульса выполняется в случае соударения между кубиками.
Сделаем замену переменных
$y = \sqrt{ M_{1}} v_{1}$
$x = \sqrt{M_{2}} v_{2}$
Тогда закон сохранения энергии запишется в виде
$\frac{1}{2} (x^{2} + y^{2}) = const$
Это - уравнение окружности. Визуализируем закон сохранения энергии для этой системы в начальный момент времени.
В начальный момент времени маленький куб покоится (координата у равна 0), а скорость большого кубика направлена слева направо (отрицательное значение координаты $x$).
При соударении кубиков произойдет перераспределение скоростей согласно закону сохранения импульсов, который в новых переменных запишется следующим образом
$\sqrt{M_{1} }y + \sqrt{ M_{2} }x = const$
Это - уравнение прямой, коэффициент наклона которой определяется соотношением масс $- \frac{ \sqrt{M_{2} } }{ \sqrt{M_{1} } }$. Для того, чтобы определить скорости кубиков после соударения, необходимо провести эту прямую через точку А, которая описывает скорости кубиков до соударения. Точка В, являющаяся второй точкой пересечения окружности и прямой, будет описывать скорости кубиков после соударения.
После соударения маленький кубик начнет движение в сторону стенки и, в скором времени столкнется с ней. С учетом того, что соударения упругие, то соударения маленького кубика со стенкой пройдет без потери скорости - поменяется только направление вектора скорости. На графике это выразится переходом из точки В в точку С.
Далее кубики будут двигаться навстречу другу до соударения и перераспределения скоростей (линия CD), маленький кубик начнет движение в сторону стены (линия DE) и т.д.
Соударения будут происходить до тех пор, пока мы не попадем в сектор обозначенный зеленым цветом: в нем скорость маленького кубика меньше скорости большого, тем самым маленький кубик уже не «догонит» большой после соударения со стенкой.
Таким образом, задача подсчета числа соударений сводится к подсчету числа «переходов» на окружности до попадания в зеленый сектор.
Можно заметить, что длины дуг (АВ, АС, BD, CE, DE...) равны. Они равны, поскольку углы, которые на них опираются, образованы вертикальными прямыми и прямыми, коэффициент наклона которых равен и определяется законом сохранения импульса. Суммарная длина всех дуг не должна превышать $2 \pi$ (иначе мы «проскочим» зеленый сектор).
Воспользуемся теоремой о вписанном угле. Размер угла можно оценить по тангенсу угла наклона прямой CD. Тангенс можно вычислить, зная обратную величину коэффициента наклона, который определяется соотношением масс $- \frac{ \sqrt{M_{2} } }{ \sqrt{M_{1} } } $. Таким образом, угол $\alpha$ равен $arctg \frac{ \sqrt{M_{1} } }{ \sqrt{M_{2} } }$. При этом длина дуги будет равна $2 \alpha$.
Получили, что число соударений равно такому наибольшему натуральному числу $N$, при котором продолжает выполняться неравенство
$N \cdot 2 \alpha < 2 \pi$
Или
$N \cdot arctg \frac{ \sqrt{ M_{1} } }{ \sqrt{M_{2} } } < \pi$
Число $N$ можно оценить, взяв целую часть отношения $\frac{ \pi}{ arctg \frac{ \sqrt{M_{1} } }{ \sqrt{ M_{2} } } }$.
Значения тангенсов угла $\alpha$, отношения и числа $N$, для разных значений масс большого кубика, представлены в таблице
На идеально гладкой поверхности стоят два кубика. Большой кубик толкают в сторону маленького. Оцените количество соударений (считать как соударения между кубиками, так и соударения маленького кубика со стенкой), если масса $M_{1}$ равна 2 кг, а массы $M_{2}$ варьируются и представлены последовательностью (3, 15, 45, 55, 110 кг). Соударения считать абсолютно упругими.
Решение:
Кинематика двух кубиков описывается законом сохранения энергии и законом сохранения импульса:
$\frac{1}{2} m_{1}v_{1}^{2} + \frac{1}{2} M_{2} v_{2}^{2} = const$
$m_{1}v_{1} + M_{2}v_{2} = const$
Стоит отметить, что закон сохранения энергии справедлив для любого момента времени, в то время как закон сохранения импульса выполняется в случае соударения между кубиками.
Сделаем замену переменных
$y = \sqrt{ M_{1}} v_{1}$
$x = \sqrt{M_{2}} v_{2}$
Тогда закон сохранения энергии запишется в виде
$\frac{1}{2} (x^{2} + y^{2}) = const$
Это - уравнение окружности. Визуализируем закон сохранения энергии для этой системы в начальный момент времени.
В начальный момент времени маленький куб покоится (координата у равна 0), а скорость большого кубика направлена слева направо (отрицательное значение координаты $x$).
При соударении кубиков произойдет перераспределение скоростей согласно закону сохранения импульсов, который в новых переменных запишется следующим образом
$\sqrt{M_{1} }y + \sqrt{ M_{2} }x = const$
Это - уравнение прямой, коэффициент наклона которой определяется соотношением масс $- \frac{ \sqrt{M_{2} } }{ \sqrt{M_{1} } }$. Для того, чтобы определить скорости кубиков после соударения, необходимо провести эту прямую через точку А, которая описывает скорости кубиков до соударения. Точка В, являющаяся второй точкой пересечения окружности и прямой, будет описывать скорости кубиков после соударения.
После соударения маленький кубик начнет движение в сторону стенки и, в скором времени столкнется с ней. С учетом того, что соударения упругие, то соударения маленького кубика со стенкой пройдет без потери скорости - поменяется только направление вектора скорости. На графике это выразится переходом из точки В в точку С.
Далее кубики будут двигаться навстречу другу до соударения и перераспределения скоростей (линия CD), маленький кубик начнет движение в сторону стены (линия DE) и т.д.
Соударения будут происходить до тех пор, пока мы не попадем в сектор обозначенный зеленым цветом: в нем скорость маленького кубика меньше скорости большого, тем самым маленький кубик уже не «догонит» большой после соударения со стенкой.
Таким образом, задача подсчета числа соударений сводится к подсчету числа «переходов» на окружности до попадания в зеленый сектор.
Можно заметить, что длины дуг (АВ, АС, BD, CE, DE...) равны. Они равны, поскольку углы, которые на них опираются, образованы вертикальными прямыми и прямыми, коэффициент наклона которых равен и определяется законом сохранения импульса. Суммарная длина всех дуг не должна превышать $2 \pi$ (иначе мы «проскочим» зеленый сектор).
Воспользуемся теоремой о вписанном угле. Размер угла можно оценить по тангенсу угла наклона прямой CD. Тангенс можно вычислить, зная обратную величину коэффициента наклона, который определяется соотношением масс $- \frac{ \sqrt{M_{2} } }{ \sqrt{M_{1} } } $. Таким образом, угол $\alpha$ равен $arctg \frac{ \sqrt{M_{1} } }{ \sqrt{M_{2} } }$. При этом длина дуги будет равна $2 \alpha$.
Получили, что число соударений равно такому наибольшему натуральному числу $N$, при котором продолжает выполняться неравенство
$N \cdot 2 \alpha < 2 \pi$
Или
$N \cdot arctg \frac{ \sqrt{ M_{1} } }{ \sqrt{M_{2} } } < \pi$
Число $N$ можно оценить, взяв целую часть отношения $\frac{ \pi}{ arctg \frac{ \sqrt{M_{1} } }{ \sqrt{ M_{2} } } }$.
Значения тангенсов угла $\alpha$, отношения и числа $N$, для разных значений масс большого кубика, представлены в таблице
