Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10678
2019-06-26 
На рисунке изображены проводящие диски, размещенные в перпендикулярном плоскости рисунка
магнитном поле (вектор магнитной индукции $\vec{B}$ направлен вверх). Два диска радиуса $R_{1}$ вращаются внешними силами в одном и том же направлении (показаны стрелками). Центры и края дисков соединены проводниками (см. рисунок), силами трения в области контактов можно пренебречь. С какими угловыми скоростями должны вращаться диски 3 и 4 для того, чтобы в системе не было электрических токов? Положительным считать направление вращения против часовой стрелки. Электрическими сопротивлениями пренебречь.
Решение:
На вращающиеся положительные заряды в дисках 1, 2 действует сила Лоренца
$F_{1,2} = q ( \omega_{1,2} r ) B$, (1)
направленная к центру дисков. На электроны сила Лоренца действует в противоположном направлении, так что плотность электронов в центрах дисков уменьшается, а на краях -увеличивается. Устанавливается некоторое стационарное распределение заряда от края к центру. В результате возникает электрическое поле, действующее на заряды противоположно силе Лоренца (так что дальнейшее перераспределение зарядов прекращается)
Поскольку это распределение стационарно, можно считать, что на заряды действует некоторая дополнительная сила, противоположная силе Лоренца, которая препятствует дальнейшему разделению зарядов. Эту силу можно определить через производную потенциальной энергии заряда по радиусу:
$F_{эл} = - q \frac{d \phi(r) }{dr}$, (2)
где $\phi(r)$ - потенциал электрического поля, соответствующий силе $F_{эл}$. Для того, чтобы сила $F$ была противоположна силе Лоренца, потенциал $\phi (r)$ должен рассчитываться по формуле Отметим, что возможно рассмотрение интеграла силы Лоренца вдоль некоторого пути $l$, по которому электрон движется от центра диска на край:
$\int_{a}^{b} \frac{ \vec{F}_{1,2} }{q} d \vec{l}$, (3)
где $d \vec{l}$ - вектор элементарного перемещения вдоль пути $l$. Интеграл (3) не зависит от формы пути, поскольку сила Лоренца везде направлена радиально, так что его можно брать вдоль радиуса. Однако, формально интеграл (3) нельзя считать электродвижущей силой, поскольку сила Лоренца не совершает работы.
Таким образом, считаем потенциал стационарного электрического поля, возникающего в дисках, интегрируя соотношение (2), в котором полагаем силу $F_{эл}$ противоположной силе Лоренца (1):
$\phi_{1,2}(r) = - \int_{0}^{r} \frac{F_{эл}(r) }{q} dr = - \int_{0}^{r} \frac{q ( \omega_{1,2} r )B }{q} = - \frac{ \omega_{1,2}r^{2}B }{2}$. (4)
Определение знака в формуле (4) из теоретических соображений может быть для школьников трудным, однако есть физические соображения: знак соответствует характеру распределения зарядов. Если в центре диска есть избыток положительного заряда, то и потенциал там (с учётом знака) должен быть выше, чем на периферии. Получается, что в центре дисков потенциал $\phi(r)$ равен нулю, а на внешних краях
$\phi_{1,2}(R_{1}) = - \frac{ \omega_{1,2} R_{1}^{2}B }{2}$. (5)
Для того, чтобы в цепи не было тока, диски 3 и 4 должны вращаться так, чтобы создать потенциалы противоположного знака, равные по модулю потенциалам $\phi_{1,2}$. Отсюда
$\left | \frac{ \omega_{1,2} R_{1}^{2}B }{2} \right | = \frac{ \omega_{3,4} R_{2}^{2}B }{2} \Rightarrow \omega_{3,4} = - \omega_{1,2} \left ( \frac{R_{1} }{R_{2} } \right )^{2}$. (6)
Ответ: $\omega_{3,4} = - \omega_{1,2} \left ( \frac{R_{1} }{R_{2} } \right )^{2}$
На рисунке изображены проводящие диски, размещенные в перпендикулярном плоскости рисунка
магнитном поле (вектор магнитной индукции $\vec{B}$ направлен вверх). Два диска радиуса $R_{1}$ вращаются внешними силами в одном и том же направлении (показаны стрелками). Центры и края дисков соединены проводниками (см. рисунок), силами трения в области контактов можно пренебречь. С какими угловыми скоростями должны вращаться диски 3 и 4 для того, чтобы в системе не было электрических токов? Положительным считать направление вращения против часовой стрелки. Электрическими сопротивлениями пренебречь.
Решение:
На вращающиеся положительные заряды в дисках 1, 2 действует сила Лоренца
$F_{1,2} = q ( \omega_{1,2} r ) B$, (1)
направленная к центру дисков. На электроны сила Лоренца действует в противоположном направлении, так что плотность электронов в центрах дисков уменьшается, а на краях -увеличивается. Устанавливается некоторое стационарное распределение заряда от края к центру. В результате возникает электрическое поле, действующее на заряды противоположно силе Лоренца (так что дальнейшее перераспределение зарядов прекращается)
Поскольку это распределение стационарно, можно считать, что на заряды действует некоторая дополнительная сила, противоположная силе Лоренца, которая препятствует дальнейшему разделению зарядов. Эту силу можно определить через производную потенциальной энергии заряда по радиусу:
$F_{эл} = - q \frac{d \phi(r) }{dr}$, (2)
где $\phi(r)$ - потенциал электрического поля, соответствующий силе $F_{эл}$. Для того, чтобы сила $F$ была противоположна силе Лоренца, потенциал $\phi (r)$ должен рассчитываться по формуле Отметим, что возможно рассмотрение интеграла силы Лоренца вдоль некоторого пути $l$, по которому электрон движется от центра диска на край:
$\int_{a}^{b} \frac{ \vec{F}_{1,2} }{q} d \vec{l}$, (3)
где $d \vec{l}$ - вектор элементарного перемещения вдоль пути $l$. Интеграл (3) не зависит от формы пути, поскольку сила Лоренца везде направлена радиально, так что его можно брать вдоль радиуса. Однако, формально интеграл (3) нельзя считать электродвижущей силой, поскольку сила Лоренца не совершает работы.
Таким образом, считаем потенциал стационарного электрического поля, возникающего в дисках, интегрируя соотношение (2), в котором полагаем силу $F_{эл}$ противоположной силе Лоренца (1):
$\phi_{1,2}(r) = - \int_{0}^{r} \frac{F_{эл}(r) }{q} dr = - \int_{0}^{r} \frac{q ( \omega_{1,2} r )B }{q} = - \frac{ \omega_{1,2}r^{2}B }{2}$. (4)
Определение знака в формуле (4) из теоретических соображений может быть для школьников трудным, однако есть физические соображения: знак соответствует характеру распределения зарядов. Если в центре диска есть избыток положительного заряда, то и потенциал там (с учётом знака) должен быть выше, чем на периферии. Получается, что в центре дисков потенциал $\phi(r)$ равен нулю, а на внешних краях
$\phi_{1,2}(R_{1}) = - \frac{ \omega_{1,2} R_{1}^{2}B }{2}$. (5)
Для того, чтобы в цепи не было тока, диски 3 и 4 должны вращаться так, чтобы создать потенциалы противоположного знака, равные по модулю потенциалам $\phi_{1,2}$. Отсюда
$\left | \frac{ \omega_{1,2} R_{1}^{2}B }{2} \right | = \frac{ \omega_{3,4} R_{2}^{2}B }{2} \Rightarrow \omega_{3,4} = - \omega_{1,2} \left ( \frac{R_{1} }{R_{2} } \right )^{2}$. (6)
Ответ: $\omega_{3,4} = - \omega_{1,2} \left ( \frac{R_{1} }{R_{2} } \right )^{2}$
