Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10665
2019-06-26 
Параллельный пучок белого света падает на оптическую систему призма - собирающая линза. В фокальной плоскости линзы на экране видна радужная полоска. Расстояние от главной оптической оси до красной зоны полоски с длиной 680 нм - 4 мм, а до синей полоски с длиной волны 520 нм - 5 мм. Зависимость показателя преломления призмы от длины волны: $n = \left (A + \frac{B}{ \lambda} \right )$. Найдите Коэффициенты $A$ и $B$. Оптическая сила линзы 5 дптр. Преломляющий угол призмы $\gamma = 0,05 рад$.
Решение:
Для каждой конкретной длины волны пучок будет отклоняться призмой, а после прохождения через линзу будет фокусироваться в точку в фокальной плоскости (если пренебречь зависимостью фокусного расстояния линзы от длины волны). Для нахождения положения этой точки необходимо рассмотреть луч, проходящий через оптический центр линзы. Ход таких лучей для красного и синего цветов показан на рисунке Обозначим как $\alpha_{c}$ и $\alpha_{кр}$ углы, которые будут составлять синий и красный лучи с оптической осью линзы после прохождения призмы. Тогда можно записать законы преломления для таких лучей: $n_{c} \sin \gamma = \sin ( \gamma + \alpha_{кр} )$,
$n_{кр} \sin \gamma = \sin( \gamma + \alpha_{кр})$.
Принимая во внимание малость угла $\gamma$, и, как следствие, углов $\alpha_{c}$ и $\alpha_{кр}$
$n_{c} = \frac{ \gamma + \alpha_{c} }{ \gamma} = 1 + \frac{ \alpha_{c} }{ \gamma}, n_{кр} = \frac{ \gamma + \alpha_{кр} }{ \gamma} = 1 + \frac{ \alpha_{кр} }{ \gamma}$
Рассматривая падение лучей на экран, получим
$\frac{h_{c}}{F} = tg \alpha_{c} \approx \alpha_{c}; \frac{h_{c} }{F} = tg \alpha_{c} \approx \alpha_{c}$.
Тогда
$n_{c} = 1 + \frac{h_{c} }{F \gamma }$; аналогично, $n_{кр} = 1 + \frac{h_{кр} }{F \gamma}$.
По условию показатели преломления для синего и красного цвета имеют вид
$A + \frac{B}{ \lambda_{c}} = n_{c}, A + \frac{B}{ \lambda_{кр} } = n_{кр}$.
Вычислив разницу показателей преломления, получим:
$B \left ( \frac{1}{ \lambda_{c} } - \frac{1}{ \lambda_{кр} } \right ) = \frac{h_{c} - h_{кр} }{F \gamma}, B = \frac{(h_{c} - h_{кр} ) \lambda_{c} \lambda_{кр} }{F \gamma ( \lambda_{c} - \lambda_{кр} )} = \frac{D(h_{c} - h_{кр} ) \lambda_{c} \lambda_{кр} }{ \gamma ( \lambda_{c} - \lambda_{кр} ) }$.
Коэффициент $A$ можно найти как:
$A = 1 + D \frac{h_{c} }{ \gamma} - \frac{B }{ \lambda_{c} }$.
После подстановки численных значений получаем $A = 1,075, B = 221 \cdot 10^{-9} м$.
Параллельный пучок белого света падает на оптическую систему призма - собирающая линза. В фокальной плоскости линзы на экране видна радужная полоска. Расстояние от главной оптической оси до красной зоны полоски с длиной 680 нм - 4 мм, а до синей полоски с длиной волны 520 нм - 5 мм. Зависимость показателя преломления призмы от длины волны: $n = \left (A + \frac{B}{ \lambda} \right )$. Найдите Коэффициенты $A$ и $B$. Оптическая сила линзы 5 дптр. Преломляющий угол призмы $\gamma = 0,05 рад$.
Решение:
Для каждой конкретной длины волны пучок будет отклоняться призмой, а после прохождения через линзу будет фокусироваться в точку в фокальной плоскости (если пренебречь зависимостью фокусного расстояния линзы от длины волны). Для нахождения положения этой точки необходимо рассмотреть луч, проходящий через оптический центр линзы. Ход таких лучей для красного и синего цветов показан на рисунке Обозначим как $\alpha_{c}$ и $\alpha_{кр}$ углы, которые будут составлять синий и красный лучи с оптической осью линзы после прохождения призмы. Тогда можно записать законы преломления для таких лучей: $n_{c} \sin \gamma = \sin ( \gamma + \alpha_{кр} )$,
$n_{кр} \sin \gamma = \sin( \gamma + \alpha_{кр})$.
Принимая во внимание малость угла $\gamma$, и, как следствие, углов $\alpha_{c}$ и $\alpha_{кр}$
$n_{c} = \frac{ \gamma + \alpha_{c} }{ \gamma} = 1 + \frac{ \alpha_{c} }{ \gamma}, n_{кр} = \frac{ \gamma + \alpha_{кр} }{ \gamma} = 1 + \frac{ \alpha_{кр} }{ \gamma}$
Рассматривая падение лучей на экран, получим
$\frac{h_{c}}{F} = tg \alpha_{c} \approx \alpha_{c}; \frac{h_{c} }{F} = tg \alpha_{c} \approx \alpha_{c}$.
Тогда
$n_{c} = 1 + \frac{h_{c} }{F \gamma }$; аналогично, $n_{кр} = 1 + \frac{h_{кр} }{F \gamma}$.
По условию показатели преломления для синего и красного цвета имеют вид
$A + \frac{B}{ \lambda_{c}} = n_{c}, A + \frac{B}{ \lambda_{кр} } = n_{кр}$.
Вычислив разницу показателей преломления, получим:
$B \left ( \frac{1}{ \lambda_{c} } - \frac{1}{ \lambda_{кр} } \right ) = \frac{h_{c} - h_{кр} }{F \gamma}, B = \frac{(h_{c} - h_{кр} ) \lambda_{c} \lambda_{кр} }{F \gamma ( \lambda_{c} - \lambda_{кр} )} = \frac{D(h_{c} - h_{кр} ) \lambda_{c} \lambda_{кр} }{ \gamma ( \lambda_{c} - \lambda_{кр} ) }$.
Коэффициент $A$ можно найти как:
$A = 1 + D \frac{h_{c} }{ \gamma} - \frac{B }{ \lambda_{c} }$.
После подстановки численных значений получаем $A = 1,075, B = 221 \cdot 10^{-9} м$.
