Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10663
2019-06-26 
Школьник Андрей экспериментирует с моделью речного буйка, которая представляет собой пластиковый шар с прикреплённым к нему на нити небольшим грузом одинаковой с шаром массы в качестве якоря. Андрей погружает свою модель в сосуд с площадью поперечного сечения $100 см^{2}$, и шар погружается на 2/3 своей высоты. Андрей перерезает нить, соединяющую шар и груз, и шар всплывает. Уровень воды в сосуде после перерезания нити изменился на 1 см. Определите плотность секретного материала, из которого сделан груз буя и его объём. Известно, что плотность груза в 12 раз больше средней плотности шара.
Решение:
Значения переменных после перерезания нити будем обозначать штрихом. Для общего объёма системы (вода - погружённая часть шара - груз) имеем:
$Sh_{1} = V_{B} + V_{1} + V_{ \Gamma}$, (1)
$Sh_{2} = V_{B} + V_{1}^{ \prime} + V_{ \Gamma}$, (2)
откуда, вычитая второе из первого, имеем:
$S \Delta h = V_{1} - V_{1}^{ \prime} = \Delta V_{1}$. (3)
Массы шара и груза по условию равны $m_{ \Gamma} = m_{ш} = m$. Запишем условия плавания для шара до и после перерезания нити:
$0 = F_{A} - T - mg$, (4)
$0 = F_{A}^{ \prime} - mg$. (5)
для плавания груза:
$0 = T - mg + F_{A \Gamma}$. (6)
Вычитая из (4) (6) получаем:
$F_{A} = 2T + F_{A \Gamma}$, и выражая силу Архимеда через объём, получаем:
$V_{ \Gamma} = V_{1} - 2 \Delta V_{1}$. (7)
С другой стороны, складывая (4) и (6) получаем:
$F_{A} + F_{A \Gamma} = 2mg$, и получаем:
$\rho_{B}V_{1} + \rho_{B}V_{ \Gamma} = 2m$, откуда, поделив обе части на $V_{ \Gamma}$, имеем:
$\rho_{ \Gamma} = \frac{ \rho_{B} }{2} \left ( \frac{V_{1} }{V_{ \Gamma} } + 1 \right )$. (8)
По условию дано, что $\rho_{ \Gamma} = 12 \rho_{ш}$, откуда, принимая во внимание равенство масс шара и груза, получаем:
$V_{ \Gamma} = \frac{1}{12}V_{ш}$. (9)
Остаётся найти связь объёма шарового сегмента $V_{1}$ с объёмом шара $V_{ш}$. Объём шарового сегмента может быть вычислен исходя из следующих соображений:
Пусть радиус сферы $R$, а радиус круга в толще сегмента - $r$. Высота сегмента $h$. Тогда из геометрических соображений имеем площадь тонкого слоя сегмента $S = \pi r^{2}$, а его объём $dV = S dx$, где $dx$ - толщина слоя. Выражая $r$ через $x$ и $R$ по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $r^{2} = R^{2} - x^{2}$, где $x$ - расстояние от центра сферы до тонкого слоя, имеем $dV = \pi (R^{2} - x^{2} )dx$, проинтегрируем по высоте в пределах от высоты основания $(R-h)$ до вершины $(R)$ шарового сегмента. Получаем:
$V_{S} = \pi \int_{R-h}^{R} \pi (R^{2} - x^{2}) dx = \pi h^{2} \left ( R - \frac{h}{3} \right ) = V_{1}$ отсюда зная, что $h = \frac{2D}{3} = \frac{4R}{3}$, получаем:
$V_{1} = \pi \left ( \frac{4R}{3} \right ) \left ( R - \frac{4R}{9} \right ) = \frac{5 \pi}{9} \left ( \frac{4}{3} \right ) R^{3}$. Зная, что объём шара $V_{ш} = \frac{4}{3} \pi R^{3}$, получаем:
$V_{1} = \frac{20}{27}V_{ш} = \alpha V_{ш}$, где $\alpha = \frac{20}{27}$. (15)
Подставляя (15) и (9) в (8) получаем:
$\rho_{ \Gamma} = \frac{ \rho_{B} }{2} ( 1 + 12 \alpha) = \frac{ \rho_{B} }{2} \left ( 1 + \frac{12 \cdot 20}{27} \right ) = \frac{89}{18} \rho_{D}$.
А подставляя (15) (3) и (9) в (7) находим:
$V_{ \Gamma} = \frac{2S \Delta h}{12 \alpha - 1} = \frac{18}{71} S \Delta h$.
Школьник Андрей экспериментирует с моделью речного буйка, которая представляет собой пластиковый шар с прикреплённым к нему на нити небольшим грузом одинаковой с шаром массы в качестве якоря. Андрей погружает свою модель в сосуд с площадью поперечного сечения $100 см^{2}$, и шар погружается на 2/3 своей высоты. Андрей перерезает нить, соединяющую шар и груз, и шар всплывает. Уровень воды в сосуде после перерезания нити изменился на 1 см. Определите плотность секретного материала, из которого сделан груз буя и его объём. Известно, что плотность груза в 12 раз больше средней плотности шара.
Решение:
Значения переменных после перерезания нити будем обозначать штрихом. Для общего объёма системы (вода - погружённая часть шара - груз) имеем:
$Sh_{1} = V_{B} + V_{1} + V_{ \Gamma}$, (1)
$Sh_{2} = V_{B} + V_{1}^{ \prime} + V_{ \Gamma}$, (2)
откуда, вычитая второе из первого, имеем:
$S \Delta h = V_{1} - V_{1}^{ \prime} = \Delta V_{1}$. (3)
Массы шара и груза по условию равны $m_{ \Gamma} = m_{ш} = m$. Запишем условия плавания для шара до и после перерезания нити:
$0 = F_{A} - T - mg$, (4)
$0 = F_{A}^{ \prime} - mg$. (5)
для плавания груза:
$0 = T - mg + F_{A \Gamma}$. (6)
Вычитая из (4) (6) получаем:
$F_{A} = 2T + F_{A \Gamma}$, и выражая силу Архимеда через объём, получаем:
$V_{ \Gamma} = V_{1} - 2 \Delta V_{1}$. (7)
С другой стороны, складывая (4) и (6) получаем:
$F_{A} + F_{A \Gamma} = 2mg$, и получаем:
$\rho_{B}V_{1} + \rho_{B}V_{ \Gamma} = 2m$, откуда, поделив обе части на $V_{ \Gamma}$, имеем:
$\rho_{ \Gamma} = \frac{ \rho_{B} }{2} \left ( \frac{V_{1} }{V_{ \Gamma} } + 1 \right )$. (8)
По условию дано, что $\rho_{ \Gamma} = 12 \rho_{ш}$, откуда, принимая во внимание равенство масс шара и груза, получаем:
$V_{ \Gamma} = \frac{1}{12}V_{ш}$. (9)
Остаётся найти связь объёма шарового сегмента $V_{1}$ с объёмом шара $V_{ш}$. Объём шарового сегмента может быть вычислен исходя из следующих соображений:
Пусть радиус сферы $R$, а радиус круга в толще сегмента - $r$. Высота сегмента $h$. Тогда из геометрических соображений имеем площадь тонкого слоя сегмента $S = \pi r^{2}$, а его объём $dV = S dx$, где $dx$ - толщина слоя. Выражая $r$ через $x$ и $R$ по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $r^{2} = R^{2} - x^{2}$, где $x$ - расстояние от центра сферы до тонкого слоя, имеем $dV = \pi (R^{2} - x^{2} )dx$, проинтегрируем по высоте в пределах от высоты основания $(R-h)$ до вершины $(R)$ шарового сегмента. Получаем:
$V_{S} = \pi \int_{R-h}^{R} \pi (R^{2} - x^{2}) dx = \pi h^{2} \left ( R - \frac{h}{3} \right ) = V_{1}$ отсюда зная, что $h = \frac{2D}{3} = \frac{4R}{3}$, получаем:
$V_{1} = \pi \left ( \frac{4R}{3} \right ) \left ( R - \frac{4R}{9} \right ) = \frac{5 \pi}{9} \left ( \frac{4}{3} \right ) R^{3}$. Зная, что объём шара $V_{ш} = \frac{4}{3} \pi R^{3}$, получаем:
$V_{1} = \frac{20}{27}V_{ш} = \alpha V_{ш}$, где $\alpha = \frac{20}{27}$. (15)
Подставляя (15) и (9) в (8) получаем:
$\rho_{ \Gamma} = \frac{ \rho_{B} }{2} ( 1 + 12 \alpha) = \frac{ \rho_{B} }{2} \left ( 1 + \frac{12 \cdot 20}{27} \right ) = \frac{89}{18} \rho_{D}$.
А подставляя (15) (3) и (9) в (7) находим:
$V_{ \Gamma} = \frac{2S \Delta h}{12 \alpha - 1} = \frac{18}{71} S \Delta h$.
