Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10662
2019-06-26 
Внутри упругой оболочки находится один моль идеального одноатомного газа. Давление газа зависит от объема оболочки по закону $p = p_{0} + kV$, где $p_{0}$ и $k$ - известные постоянные. После того, как газу сообщили некоторое количество теплоты $Q$, его объем увеличился на величину $\Delta V$. Найдите первоначальный объем газа $V_{1}$.
Решение:
Согласно первому началу термодинамики:
$Q = \Delta U + A$,
где $\Delta U$ - изменение внутренней энергии газа, $A$ - работа, совершенная газом над внешними телами (оболочкой). Для идеального одноатомного газа получим:
$Q = \frac{3}{2} R \Delta T + A$,
где $\Delta T$ - изменение температуры газа.
Работу газа по расширению оболочки вычислим как площадь под кривой процесса в координатах $p - V$:
$A = p_{0} \Delta V + \frac{1}{2} ( kV_{2} + kV_{1})( V_{2} - V_{1}) = p_{0} \Delta V + \frac{k}{2} ( V_{2}^{2} - V_{1}^{2})$,
где $V_{2}$ - конечный объем газа. Преобразовывая выражение для работы, получаем:
$A = p_{0} \Delta V + \frac{k}{2} \Delta V (2V_{1} + \Delta V )$,
отсюда
$A = p_{0} \Delta V + k V_{1} \Delta V + \frac{k}{2} \Delta V^{2}$.
Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для начального состояния газа:
$(p_{0} + kV_{1} )V_{1} = RT_{1}$
$p_{0}V_{1} + kV_{1}^{2} = RT_{1}$
Для конечного:
$(p_{0} + kV_{1} + k \Delta V)(V_{1} + \Delta V) = RT_{2}$
$p_{0}V_{1} + kV_{1}^{2} + p_{0} \Delta V + 2kV_{1} \Delta V + k \Delta V^{2} = RT_{2}$
Из двух уравнений состояния следует:
$p_{0} \Delta V + 2kV_{1} \Delta V + k \Delta V^{2} = R \Delta T$
Сопоставим результат с первым началом термодинамики:
$Q = \frac{3}{2} p_{0} \Delta V + 3 kV_{1} \Delta V + \frac{3}{2} k \Delta V^{2} + p_{0} \Delta V + kV_{1} \Delta V + \frac{k}{2} \Delta V^{2}$
$Q = \frac{5}{2} p_{0} \Delta V + 4k V_{1} \Delta V + 2k \Delta V^{2}$
$V_{1} = \frac{Q - \frac{5}{2} p_{0} \Delta V - 2k \Delta V^{2} }{4 k \Delta V}$.
Внутри упругой оболочки находится один моль идеального одноатомного газа. Давление газа зависит от объема оболочки по закону $p = p_{0} + kV$, где $p_{0}$ и $k$ - известные постоянные. После того, как газу сообщили некоторое количество теплоты $Q$, его объем увеличился на величину $\Delta V$. Найдите первоначальный объем газа $V_{1}$.
Решение:
Согласно первому началу термодинамики:
$Q = \Delta U + A$,
где $\Delta U$ - изменение внутренней энергии газа, $A$ - работа, совершенная газом над внешними телами (оболочкой). Для идеального одноатомного газа получим:
$Q = \frac{3}{2} R \Delta T + A$,
где $\Delta T$ - изменение температуры газа.
Работу газа по расширению оболочки вычислим как площадь под кривой процесса в координатах $p - V$:
$A = p_{0} \Delta V + \frac{1}{2} ( kV_{2} + kV_{1})( V_{2} - V_{1}) = p_{0} \Delta V + \frac{k}{2} ( V_{2}^{2} - V_{1}^{2})$,
где $V_{2}$ - конечный объем газа. Преобразовывая выражение для работы, получаем:
$A = p_{0} \Delta V + \frac{k}{2} \Delta V (2V_{1} + \Delta V )$,
отсюда
$A = p_{0} \Delta V + k V_{1} \Delta V + \frac{k}{2} \Delta V^{2}$.
Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для начального состояния газа:
$(p_{0} + kV_{1} )V_{1} = RT_{1}$
$p_{0}V_{1} + kV_{1}^{2} = RT_{1}$
Для конечного:
$(p_{0} + kV_{1} + k \Delta V)(V_{1} + \Delta V) = RT_{2}$
$p_{0}V_{1} + kV_{1}^{2} + p_{0} \Delta V + 2kV_{1} \Delta V + k \Delta V^{2} = RT_{2}$
Из двух уравнений состояния следует:
$p_{0} \Delta V + 2kV_{1} \Delta V + k \Delta V^{2} = R \Delta T$
Сопоставим результат с первым началом термодинамики:
$Q = \frac{3}{2} p_{0} \Delta V + 3 kV_{1} \Delta V + \frac{3}{2} k \Delta V^{2} + p_{0} \Delta V + kV_{1} \Delta V + \frac{k}{2} \Delta V^{2}$
$Q = \frac{5}{2} p_{0} \Delta V + 4k V_{1} \Delta V + 2k \Delta V^{2}$
$V_{1} = \frac{Q - \frac{5}{2} p_{0} \Delta V - 2k \Delta V^{2} }{4 k \Delta V}$.
