2016-09-18
В лёгкую прямоугольную ёмкость шириной $L$ и глубиной $H$ до краёв налита вода. Емкость ставят в горизонтальном положении поперёк шероховатого цилиндрического бревна радиусом $R$ (см. рисунок). При каких $R$ равновесие будет устойчивым? Поверхностным натяжением пренебречь.
Решение:
Так как ёмкость наполнена водой до краёв и поверхностное натяжение пренебрежимо мало, то при решении задачи необходимо учесть выливание
воды через края при небольших наклонах ёмкости.
Пусть ёмкость повернулась без проскальзывания по бревну на малый угол $\alpha$ (см. рис.); при этом можно считать, что $\cos \alpha \approx 1$, a $\sin \alpha \approx \alpha$.
Тогда линия её опоры на бревно переместилась в горизонтальном направлении вправо на расстояние $R \alpha$. Центр масс воды при этом переместился по горизонтали в том же направлении, что и точка опоры, на некоторое расстояние $X$, которое можно определить из следующих соображений. Если бы вода не выливалась и её масса $M$ оставалась постоянной, то центр масс воды (чёрная точка) сместился бы, очевидно, на расстояние $X_{0} \approx (H/2) \alpha$ (при этом мы пренебрегаем горизонтальным смещением ёмкости при её перекатывании по бревну). Однако, при перекатывании вылилась часть воды, соответствующая незаштрихованному треугольнику на рисунке. Площадь этого прямоугольного треугольника $S_{1} \approx \frac{1}{2} L^{2} \alpha$, масса вылившейся воды $M_{1}$ пропорциональна доле $S_{1}$ от всей площади $S = LH$. Таким образом, $M_{1} = \frac{S_{1}}{S} M \approx \frac{L}{2H} M \cdot \alpha$, а центр масс этой воды (светлый кружочек) находится на одной трети высоты $L$ треугольника, то есть на расстоянии $X_{1} = L/6$ по горизонтали слева от центра ёмкости. Поэтому полное смещение центра масс ёмкости с водой после её наклона равно
$X = \frac{MX_{0} + M_{1}X_{1}}{M} \approx \frac{H}{2} \cdot \alpha + \frac{L^{2}}{12H} \cdot \alpha$.
Для того, чтобы равновесие сосуда было устойчивым, нужно, чтобы его точка опоры смещалась на большее расстояние, чем смещается центр масс воды: $R \alpha > X$. Итак, положение сосуда будет устойчивым $R > \frac{H}{2} + \frac{L^{2}}{12H}$.