Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10647
2019-06-22 
Используя представление о том, что два взаимно притягивающихся тела непрерывно «падают» друг на друга и в результате обращаются вокруг одной общей неподвижной точки (центра масс системы), покажите, что период обращения при фиксированном расстоянии $R$ между телами зависит только от суммы их масс, но не от отношения масс. Это утверждение справедливо и для эллиптических орбит. Попытайтесь его доказать.
Решение:
Пусть массы $M_{1}$ и $M_{2}$ вращаются по круговым орбитам с радиусами $r_{1} $и $r_{2}$ соответственно, причем $r_{1} + r_{2} = R$ ($R$ - постоянное расстояние между массами). Вращаясь вокруг неподвижной точки (их общего центра масс), эти тела все время находятся на одной прямой, соединяющей данные массы и проходящей через неподвижную точку вращения. Поэтому периоды обращения обоих тел одинаковы и равны $T$.
Рассмотрим движение одного тела, например первого. Сила притяжения, действующая на него со стороны второго тела, равна
$F^{(1)} = \frac{GM_{1}M_{2}}{R^{2} }$.
Как было показано в задаче 10648m под действием этой силы тело движется с центростремительным ускорением
$a_{ц}^{(1)} = \frac{V_{1}^{2} }{r_{1} }$.
Учитывая, что период обращения $T = 2 \pi r_{1}/ v_{1}$ и что $F^{(1)} = M_{1}a_{ц}^{(1)}$, получаем
$F^{(1)} = M_{1} \frac{(2 \pi)^{2}r_{1}^{2} }{T^{2}r_{1} } = G \frac{M_{1}M_{2} }{R^{2} }$,
откуда
$\frac{(2 \pi)^{2} r_{1}}{T^{2} } = \frac{GM_{2} }{R^{2} }$.
Аналогично можем написать для второго тела:
$\frac{(2 \pi )^{2}r_{2}}{T^{2} } = \frac{GM_{1} }{R^{2} }$.
Складывая два последних выражения и учитывая, что $r_{1} + r_{2} = R$, находим
$T^{2} = \frac{(2 \pi)^{2}R^{3} }{G(M_{1} + M_{2} ) }$.
Полученная формула показывает, что период обращения тел зависит только от расстояния между ними и их суммарной массы (а не массы каждого из тел или же отношения их масс).
Перейдем теперь к случаю эллиптических орбит. Речь идет в сущности о трех эллипсах: по эллипсам движутся оба тела (легкое-по большому, тяжелое-по малому) и, кроме того, относительное движение тел также происходит по эллипсу. Все три эллипса подобны друг другу, т. е. обладают одним и тем же эксцентриситетом. Если учесть также, что центр масс системы остается неподвижным (он лежит в общем фокусе орбит обоих тел), а расстояния от центра масс до тел обратно пропорциональны их массам, то мы придем к выводу, что расположение тел и их орбит такое, как на рисунке.
Обозначив через $v_{1}$ и $v_{2}$ скорости тел $M_{1}$ и $M_{2}$ в тот момент времени, когда они находятся в апогее. Как видно из рисунка,
$\frac{v_{1} }{v_{2} } = \frac{a_{1} + c_{1} }{a_{2} + c_{2} } = \frac{a_{1}(1 + e) }{a_{2}(1 + e) } = \frac{a_{1} }{a_{2} }$
(индексами 1 и 2 обозначены величины, относящиеся к эллипсам, по которым движутся массы $M_{1}$ и $M_{2}$).
Чтобы получить для эллиптических орбит те же выражения, что и для круговых, вспомним, что эллипс можно представить себе как окружность, видимую под некоторым углом к своей плоскости или (что то же самое) как проекцию окружности на наклонную плоскость. Иначе говоря, эллипс молено получить из окружности, если изменить масштаб вдоль одной из осей координат. Чтобы получить ускорение тела (например, $M_{1}$) в интересующем нас случае, представим себе, что его орбита получена из круговой увеличением масштаба в «вертикальном направлении» в $a_{1}/b_{1}$ раз. Величина х при этом не изменится, а $s$ увеличится и станет равным $s_{1} = \frac{a_{1}}{b_{1}} s$.
Подставив в соотношение $x^{2} = 2Rs$ (справедливое для окружности) их значения после увеличения масштаба $x_{1} = x, s_{1} = \frac{a_{1} }{b_{1} }s$ и $R = b_{1}$ («горизонтальные» размеры не изменились, поэтому малая полуось эллипса равна радиусу исходной окружности), получим
$x^{2} = 2 \frac{b_{1}^{2} }{a_{1} } s_{1}$.
Таким образом, радиус кривизны эллипса в точке пересечения с большой полуосью равен $b_{1}^{2}/a_{1}$. Считая, что в течение очень малого промежутка времени первое тело движется по круговой орбите этого радиуса, можно написать
$\frac{v_{1}^{2}a_{1}^{2} }{b_{1}^{2} } = \frac{GM_{2} }{(a + c)^{2} } = \frac{GM_{2} }{a^{2}(1 + e)^{2} }$
(здесь $a$ и $c$-параметры орбиты относительного движения тел: $a = a_{1} + a_{2}, c = c_{1} + c_{2}$). Аналогично для второго тела:
$\frac{v_{2}^{2}a_{2}^{2}}{b_{2}^{2} } = \frac{GM_{1}}{a^{2}(1 + e)^{2} }$.
Складывая последние два равенства и выражая $v_{2}$ через $v_{1}$ получаем
$\frac{v_{1}^{2} (1 + e)}{a_{1}^{2} (1 - e) } = \frac{G(M_{1} + M_{2} )}{a^{3} }$.
Остается лишь выяснить, какое отношение имеет к периоду обращения величина, стоящая в левой части этого равенства. Заметим прежде всего, что площадь, которую за единицу времени «заметает» радиус-вектор тела $M_{1}$ (проведенный из точки 0), равна $\frac{1}{2} v_{1} (a_{1} + c_{1}) = \frac{1}{2} v_{1}a_{1} (1 + e)$. Хотя фактически мы вычислили скорость изменения «заметаемой» площади для того момента, когда тело $M_{1}$ находится в апогее, согласно второму закону Кеплера, эта скорость не меняется при движении тела по орбите. Поэтому величина $1/2 v_{1}a_{1} (1 + e)T$ (здесь $T$ - период обращения) равна площади орбиты тела $M_{1}$. Площадь эллипса легко вычислить, если сообразить, что при увеличении масштаба по одной из осей площадь фигуры увеличивается во столько же раз, что и масштаб. Поэтому площадь эллипса равна
$\pi b_{1}^{2} \frac{a_{1} }{b_{1} } = \pi a_{1} b_{1} = \pi a_{1}^{2} \sqrt{1 - e^{2} }$.
Теперь нетрудно убедиться, что
$T = \frac{2 \pi a_{1} }{v_{1} } \sqrt{ \frac{1 - e}{1 + e} }$, а $T^{2} = \frac{4 \pi^{2}a^{3} }{G(M_{1} + M_{2} ) }$.
Используя представление о том, что два взаимно притягивающихся тела непрерывно «падают» друг на друга и в результате обращаются вокруг одной общей неподвижной точки (центра масс системы), покажите, что период обращения при фиксированном расстоянии $R$ между телами зависит только от суммы их масс, но не от отношения масс. Это утверждение справедливо и для эллиптических орбит. Попытайтесь его доказать.
Решение:
Пусть массы $M_{1}$ и $M_{2}$ вращаются по круговым орбитам с радиусами $r_{1} $и $r_{2}$ соответственно, причем $r_{1} + r_{2} = R$ ($R$ - постоянное расстояние между массами). Вращаясь вокруг неподвижной точки (их общего центра масс), эти тела все время находятся на одной прямой, соединяющей данные массы и проходящей через неподвижную точку вращения. Поэтому периоды обращения обоих тел одинаковы и равны $T$.
Рассмотрим движение одного тела, например первого. Сила притяжения, действующая на него со стороны второго тела, равна
$F^{(1)} = \frac{GM_{1}M_{2}}{R^{2} }$.
Как было показано в задаче 10648m под действием этой силы тело движется с центростремительным ускорением
$a_{ц}^{(1)} = \frac{V_{1}^{2} }{r_{1} }$.
Учитывая, что период обращения $T = 2 \pi r_{1}/ v_{1}$ и что $F^{(1)} = M_{1}a_{ц}^{(1)}$, получаем
$F^{(1)} = M_{1} \frac{(2 \pi)^{2}r_{1}^{2} }{T^{2}r_{1} } = G \frac{M_{1}M_{2} }{R^{2} }$,
откуда
$\frac{(2 \pi)^{2} r_{1}}{T^{2} } = \frac{GM_{2} }{R^{2} }$.
Аналогично можем написать для второго тела:
$\frac{(2 \pi )^{2}r_{2}}{T^{2} } = \frac{GM_{1} }{R^{2} }$.
Складывая два последних выражения и учитывая, что $r_{1} + r_{2} = R$, находим
$T^{2} = \frac{(2 \pi)^{2}R^{3} }{G(M_{1} + M_{2} ) }$.
Полученная формула показывает, что период обращения тел зависит только от расстояния между ними и их суммарной массы (а не массы каждого из тел или же отношения их масс).
Перейдем теперь к случаю эллиптических орбит. Речь идет в сущности о трех эллипсах: по эллипсам движутся оба тела (легкое-по большому, тяжелое-по малому) и, кроме того, относительное движение тел также происходит по эллипсу. Все три эллипса подобны друг другу, т. е. обладают одним и тем же эксцентриситетом. Если учесть также, что центр масс системы остается неподвижным (он лежит в общем фокусе орбит обоих тел), а расстояния от центра масс до тел обратно пропорциональны их массам, то мы придем к выводу, что расположение тел и их орбит такое, как на рисунке.
Обозначив через $v_{1}$ и $v_{2}$ скорости тел $M_{1}$ и $M_{2}$ в тот момент времени, когда они находятся в апогее. Как видно из рисунка,
$\frac{v_{1} }{v_{2} } = \frac{a_{1} + c_{1} }{a_{2} + c_{2} } = \frac{a_{1}(1 + e) }{a_{2}(1 + e) } = \frac{a_{1} }{a_{2} }$
(индексами 1 и 2 обозначены величины, относящиеся к эллипсам, по которым движутся массы $M_{1}$ и $M_{2}$).
Чтобы получить для эллиптических орбит те же выражения, что и для круговых, вспомним, что эллипс можно представить себе как окружность, видимую под некоторым углом к своей плоскости или (что то же самое) как проекцию окружности на наклонную плоскость. Иначе говоря, эллипс молено получить из окружности, если изменить масштаб вдоль одной из осей координат. Чтобы получить ускорение тела (например, $M_{1}$) в интересующем нас случае, представим себе, что его орбита получена из круговой увеличением масштаба в «вертикальном направлении» в $a_{1}/b_{1}$ раз. Величина х при этом не изменится, а $s$ увеличится и станет равным $s_{1} = \frac{a_{1}}{b_{1}} s$.
Подставив в соотношение $x^{2} = 2Rs$ (справедливое для окружности) их значения после увеличения масштаба $x_{1} = x, s_{1} = \frac{a_{1} }{b_{1} }s$ и $R = b_{1}$ («горизонтальные» размеры не изменились, поэтому малая полуось эллипса равна радиусу исходной окружности), получим
$x^{2} = 2 \frac{b_{1}^{2} }{a_{1} } s_{1}$.
Таким образом, радиус кривизны эллипса в точке пересечения с большой полуосью равен $b_{1}^{2}/a_{1}$. Считая, что в течение очень малого промежутка времени первое тело движется по круговой орбите этого радиуса, можно написать
$\frac{v_{1}^{2}a_{1}^{2} }{b_{1}^{2} } = \frac{GM_{2} }{(a + c)^{2} } = \frac{GM_{2} }{a^{2}(1 + e)^{2} }$
(здесь $a$ и $c$-параметры орбиты относительного движения тел: $a = a_{1} + a_{2}, c = c_{1} + c_{2}$). Аналогично для второго тела:
$\frac{v_{2}^{2}a_{2}^{2}}{b_{2}^{2} } = \frac{GM_{1}}{a^{2}(1 + e)^{2} }$.
Складывая последние два равенства и выражая $v_{2}$ через $v_{1}$ получаем
$\frac{v_{1}^{2} (1 + e)}{a_{1}^{2} (1 - e) } = \frac{G(M_{1} + M_{2} )}{a^{3} }$.
Остается лишь выяснить, какое отношение имеет к периоду обращения величина, стоящая в левой части этого равенства. Заметим прежде всего, что площадь, которую за единицу времени «заметает» радиус-вектор тела $M_{1}$ (проведенный из точки 0), равна $\frac{1}{2} v_{1} (a_{1} + c_{1}) = \frac{1}{2} v_{1}a_{1} (1 + e)$. Хотя фактически мы вычислили скорость изменения «заметаемой» площади для того момента, когда тело $M_{1}$ находится в апогее, согласно второму закону Кеплера, эта скорость не меняется при движении тела по орбите. Поэтому величина $1/2 v_{1}a_{1} (1 + e)T$ (здесь $T$ - период обращения) равна площади орбиты тела $M_{1}$. Площадь эллипса легко вычислить, если сообразить, что при увеличении масштаба по одной из осей площадь фигуры увеличивается во столько же раз, что и масштаб. Поэтому площадь эллипса равна
$\pi b_{1}^{2} \frac{a_{1} }{b_{1} } = \pi a_{1} b_{1} = \pi a_{1}^{2} \sqrt{1 - e^{2} }$.
Теперь нетрудно убедиться, что
$T = \frac{2 \pi a_{1} }{v_{1} } \sqrt{ \frac{1 - e}{1 + e} }$, а $T^{2} = \frac{4 \pi^{2}a^{3} }{G(M_{1} + M_{2} ) }$.
