Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10645
2019-06-22 
Спутник движется по круговой орбите радиуса $R$ вокруг большого небесного тела массы $M$. Масса спутника $m$.
а) Используя соотношение $s= \frac{at^{2}}{2}$ получите выражение для центростремительного ускорения, которое испытывает спутник, движущийся по круговой орбите. Выразите это ускорение через орбитальную скорость и радиус орбиты.
б) Полагая $ma = \frac{GMm}{R^{2}}$, получите третий закон Кеплера.
Решение:
а) Так как спутник движется по круговой орбите радиусом $R$, то, сместившись на $x$ в горизонтальном направлении, он одновременно переместится на расстояние $s$ по вертикали. Выпишем формулу, связывающую $s$ и $x$:
$\frac{x}{s} = \frac{2R - s}{x} \approx \frac{2R}{x}$
($s$ считаем малым, т. е. считаем, что прошло очень мало времени с того момента, как спутник побывал в точке A). Таким образом,
$s = \frac{x^{2} }{2R}$.
Длина дуги AВ равна $vt$ ($v$ - скорость спутника). Но если эта длина мала, то можно считать, что и $x \approx vt$, следовательно,
$s = \frac{v^{2}}{R} \frac{t^{2} }{2}$.
С другой стороны, формула пути для равноускоренного движения имеет вид $s = \frac{at^{2}}{2}$. Сравнивая эти две формулы, видим, что центростремительное ускорение спутника $a_{ц} = \frac{v^{2}}{R}$.
б) Если положить $a = \frac{GM}{R^{2}}$, то
$\frac{v^{2}}{R} = \frac{GM}{R^{2} }$ и $v^{2} = \frac{GM}{R}$.
Период обращения есть время, за которое тело совершает один оборот, так что $T = 2 \pi R/v$, или
$T^{2} = \frac{4 \pi^{2}R^{2} }{v^{2} } = \frac{4 \pi^{2} }{GM} R^{3}$.
Найденное выражение для $T$ соответствует третьему закону Кеплера: квадрат периода пропорционален кубу большой полуоси орбиты (в нашем случае круговой орбиты-ее радиусу).
Спутник движется по круговой орбите радиуса $R$ вокруг большого небесного тела массы $M$. Масса спутника $m$.
а) Используя соотношение $s= \frac{at^{2}}{2}$ получите выражение для центростремительного ускорения, которое испытывает спутник, движущийся по круговой орбите. Выразите это ускорение через орбитальную скорость и радиус орбиты.
б) Полагая $ma = \frac{GMm}{R^{2}}$, получите третий закон Кеплера.
Решение:
а) Так как спутник движется по круговой орбите радиусом $R$, то, сместившись на $x$ в горизонтальном направлении, он одновременно переместится на расстояние $s$ по вертикали. Выпишем формулу, связывающую $s$ и $x$:
$\frac{x}{s} = \frac{2R - s}{x} \approx \frac{2R}{x}$
($s$ считаем малым, т. е. считаем, что прошло очень мало времени с того момента, как спутник побывал в точке A). Таким образом,
$s = \frac{x^{2} }{2R}$.
Длина дуги AВ равна $vt$ ($v$ - скорость спутника). Но если эта длина мала, то можно считать, что и $x \approx vt$, следовательно,
$s = \frac{v^{2}}{R} \frac{t^{2} }{2}$.
С другой стороны, формула пути для равноускоренного движения имеет вид $s = \frac{at^{2}}{2}$. Сравнивая эти две формулы, видим, что центростремительное ускорение спутника $a_{ц} = \frac{v^{2}}{R}$.
б) Если положить $a = \frac{GM}{R^{2}}$, то
$\frac{v^{2}}{R} = \frac{GM}{R^{2} }$ и $v^{2} = \frac{GM}{R}$.
Период обращения есть время, за которое тело совершает один оборот, так что $T = 2 \pi R/v$, или
$T^{2} = \frac{4 \pi^{2}R^{2} }{v^{2} } = \frac{4 \pi^{2} }{GM} R^{3}$.
Найденное выражение для $T$ соответствует третьему закону Кеплера: квадрат периода пропорционален кубу большой полуоси орбиты (в нашем случае круговой орбиты-ее радиусу).
