Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10642
2019-06-22 
Стержень длины $R$ составлен из двух однородных кусков одинаковой длины, один из которых весит вдвое больше другого. Стержень подвешен за концы на двух нитях длины $R$, прикрепленных к гвоздю в точке Р. Какой угол с горизонталью образует стержень в положении равновесия?
Решение:
Если стержень находится в равновесии, то, повернув его на малый угол $\Delta \phi$ около точки Р, мы должны обнаружить, что потенциальная энергия не изменилась. Это означает, что потенциальная энергия одного из кусков увеличивается, а другого уменьшается, в точности компенсируя это увеличение. Так как потенциальная энергия однородного стержня зависит от высоты его середины, нужно определить, как изменятся высоты середин кусков при повороте на угол $\Delta \phi$ (см. рисунок). Как видно из рисунка (для удобства треугольники $BB^{ \prime}B^{ \prime \prime}$ и $CC^{ \prime}C^{ \prime \prime} $ нарисованы отдельно), середина куска весом $2W$ опустится на величину $B^{ \prime} B^{ \prime \prime} = \sin \alpha_{1} \cdot BB^{ \prime}$, а середина куска весом $W$ поднимется на $C^{ \prime}C^{ \prime \prime} = \sin \alpha_{3} \cdot CC^{ \prime}$. Итак,
$2W BB^{ \prime} \sin \alpha_{1} = WC^{ \prime}C \sin \alpha_{2}$.
Но $B^{ \prime}B = C^{ \prime}C$ ($BB^{ \prime} = PB \cdot \Delta \phi, C^{ \prime}C = PC \cdot \Delta \phi$, a $PB = PC$), поэтому
$2 \sin \alpha_{1} = \sin \alpha_{2}$.
Заметим далее, что $\alpha_{1} = \alpha_{0} - \alpha$ а $\alpha_{2} = \alpha_{0} + \alpha$ ($\alpha$ - искомый угол). Пользуясь формулами для синуса суммы и разности углов, находим
$tg \alpha = \frac{1}{3} tg \alpha_{0}$.
определив $tg \alpha_{0}$:
$tg \alpha_{0} = \frac{CD}{PD} = \frac{1}{2 \sqrt{3} }$,
получаем окончательно
$tg \alpha = \frac{1}{ 6 \sqrt{3} }$ и $\alpha = 5^{ \circ}30^{ \prime}$.
Стержень длины $R$ составлен из двух однородных кусков одинаковой длины, один из которых весит вдвое больше другого. Стержень подвешен за концы на двух нитях длины $R$, прикрепленных к гвоздю в точке Р. Какой угол с горизонталью образует стержень в положении равновесия?
Решение:
Если стержень находится в равновесии, то, повернув его на малый угол $\Delta \phi$ около точки Р, мы должны обнаружить, что потенциальная энергия не изменилась. Это означает, что потенциальная энергия одного из кусков увеличивается, а другого уменьшается, в точности компенсируя это увеличение. Так как потенциальная энергия однородного стержня зависит от высоты его середины, нужно определить, как изменятся высоты середин кусков при повороте на угол $\Delta \phi$ (см. рисунок). Как видно из рисунка (для удобства треугольники $BB^{ \prime}B^{ \prime \prime}$ и $CC^{ \prime}C^{ \prime \prime} $ нарисованы отдельно), середина куска весом $2W$ опустится на величину $B^{ \prime} B^{ \prime \prime} = \sin \alpha_{1} \cdot BB^{ \prime}$, а середина куска весом $W$ поднимется на $C^{ \prime}C^{ \prime \prime} = \sin \alpha_{3} \cdot CC^{ \prime}$. Итак,
$2W BB^{ \prime} \sin \alpha_{1} = WC^{ \prime}C \sin \alpha_{2}$.
Но $B^{ \prime}B = C^{ \prime}C$ ($BB^{ \prime} = PB \cdot \Delta \phi, C^{ \prime}C = PC \cdot \Delta \phi$, a $PB = PC$), поэтому
$2 \sin \alpha_{1} = \sin \alpha_{2}$.
Заметим далее, что $\alpha_{1} = \alpha_{0} - \alpha$ а $\alpha_{2} = \alpha_{0} + \alpha$ ($\alpha$ - искомый угол). Пользуясь формулами для синуса суммы и разности углов, находим
$tg \alpha = \frac{1}{3} tg \alpha_{0}$.
определив $tg \alpha_{0}$:
$tg \alpha_{0} = \frac{CD}{PD} = \frac{1}{2 \sqrt{3} }$,
получаем окончательно
$tg \alpha = \frac{1}{ 6 \sqrt{3} }$ и $\alpha = 5^{ \circ}30^{ \prime}$.
