Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10641
2019-06-22 
Длины наклонных и горизонтальных стержней фермы, показанной на рисунке, относятся как 5 : 6. Все соединения шарнирные, свободные, и вес самой фермы пренебрежимо мал.
а) Какие стержни при данном положении груза $W$ можно заменить гибкими связями?
б) Найдите усилие в стержне BD.
Решение:
а) Гибкими связями можно заменить те стержни, которые растянуты. Чтобы выяснить, сжат данный стержень или растянут, удобно воспользоваться следующим простым приемом. Представим, например, что стержень АВ фермы удален. Тогда груз $W$ пойдет вниз, а точка В начнет перемещаться к точке А. Стержень АВ препятствует такому движению, следовательно, он сжат. Удалим стержень АС. Груз $W$ снова начнет двигаться вниз, а шарниры A и С разъедутся. Стало быть, стержень АС растянут. Удаляя последовательно каждый стержень фермы, можно убедиться, что стержни ВС, АС, СЕ, EG, ED и EF растянуты, т. е. их можно заменить гибкими связями. Все остальные стержни сжаты.
б) Удалим стержень BD. Чтобы ферма осталась в равновесии, к ней нужно на двух блоках подвесить два груза весом по $T_{BD}$ каждый, как показано на рисунке ($T_{BD}$ - усилие в стержне BD). Рассмотрим следующее виртуальное перемещение. Представим себе, что ферма переломилась в шарнире С, в результате чего часть фермы GFDCE повернулась как целее на небольшой угол $\Delta \phi$ вокруг шарнира G, а часть АВС - на угол $\Delta \Psi$ вокруг шарнира А. Углы $\Delta \phi$ и $\Delta \Psi$ считаем малыми, такими, чтобы смещением точки А можно было пренебречь.
При таком перемещении фермы груз $W$ опустится вниз на расстояние $EE^{ \prime} = EG \cdot \Delta \phi$, а подвешенные на блоках грузики поднимутся вверх. Как видно из рисунка, сумма высот подъема грузов равна $BD - B^{ \prime}D^{ \prime} = \Delta BD$. Чтобы найти эту величину, удобно воспользоваться формулой, доказанной в пункте (I) задачи 10639; для этого нужно лишь определить изменение угла $BCD: \Delta \alpha = \angle BCD - \angle B^{ \prime}C^{ \prime}D^{ \prime}$. Легко убедиться в том, что $\Delta \alpha = \Delta \phi + \Delta \Psi$. Но $CC^{ \prime} = CG \Delta \phi - AC \Delta \Psi$, так что $\Delta \Psi = \frac{CG}{AC} \Delta \phi = 2 \Delta \phi$, поэтому $\Delta \alpha = 3 \Delta \phi$.
Таким образом,
$\Delta BD = \frac{(BC)^{2}}{BD} \sin \angle BCD \cdot \Delta \alpha = \frac{12}{5} BC \Delta \phi$,
так как $\sin \angle BCD = \frac{24}{25}$. (Все стороны треугольника BCD известны, поэтому вычисление синуса не представляет труда.)
Из закона сохранения энергии $T_{BD} \Delta BD = WEG \Delta \phi$, откуда
$T_{BD} = \frac{EG \cdot \Delta \phi}{ \Delta BD} W = \frac{1}{2}W$.
Длины наклонных и горизонтальных стержней фермы, показанной на рисунке, относятся как 5 : 6. Все соединения шарнирные, свободные, и вес самой фермы пренебрежимо мал.
а) Какие стержни при данном положении груза $W$ можно заменить гибкими связями?
б) Найдите усилие в стержне BD.
Решение:
а) Гибкими связями можно заменить те стержни, которые растянуты. Чтобы выяснить, сжат данный стержень или растянут, удобно воспользоваться следующим простым приемом. Представим, например, что стержень АВ фермы удален. Тогда груз $W$ пойдет вниз, а точка В начнет перемещаться к точке А. Стержень АВ препятствует такому движению, следовательно, он сжат. Удалим стержень АС. Груз $W$ снова начнет двигаться вниз, а шарниры A и С разъедутся. Стало быть, стержень АС растянут. Удаляя последовательно каждый стержень фермы, можно убедиться, что стержни ВС, АС, СЕ, EG, ED и EF растянуты, т. е. их можно заменить гибкими связями. Все остальные стержни сжаты.
б) Удалим стержень BD. Чтобы ферма осталась в равновесии, к ней нужно на двух блоках подвесить два груза весом по $T_{BD}$ каждый, как показано на рисунке ($T_{BD}$ - усилие в стержне BD). Рассмотрим следующее виртуальное перемещение. Представим себе, что ферма переломилась в шарнире С, в результате чего часть фермы GFDCE повернулась как целее на небольшой угол $\Delta \phi$ вокруг шарнира G, а часть АВС - на угол $\Delta \Psi$ вокруг шарнира А. Углы $\Delta \phi$ и $\Delta \Psi$ считаем малыми, такими, чтобы смещением точки А можно было пренебречь.
При таком перемещении фермы груз $W$ опустится вниз на расстояние $EE^{ \prime} = EG \cdot \Delta \phi$, а подвешенные на блоках грузики поднимутся вверх. Как видно из рисунка, сумма высот подъема грузов равна $BD - B^{ \prime}D^{ \prime} = \Delta BD$. Чтобы найти эту величину, удобно воспользоваться формулой, доказанной в пункте (I) задачи 10639; для этого нужно лишь определить изменение угла $BCD: \Delta \alpha = \angle BCD - \angle B^{ \prime}C^{ \prime}D^{ \prime}$. Легко убедиться в том, что $\Delta \alpha = \Delta \phi + \Delta \Psi$. Но $CC^{ \prime} = CG \Delta \phi - AC \Delta \Psi$, так что $\Delta \Psi = \frac{CG}{AC} \Delta \phi = 2 \Delta \phi$, поэтому $\Delta \alpha = 3 \Delta \phi$.
Таким образом,
$\Delta BD = \frac{(BC)^{2}}{BD} \sin \angle BCD \cdot \Delta \alpha = \frac{12}{5} BC \Delta \phi$,
так как $\sin \angle BCD = \frac{24}{25}$. (Все стороны треугольника BCD известны, поэтому вычисление синуса не представляет труда.)
Из закона сохранения энергии $T_{BD} \Delta BD = WEG \Delta \phi$, откуда
$T_{BD} = \frac{EG \cdot \Delta \phi}{ \Delta BD} W = \frac{1}{2}W$.
