Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10640
2019-06-22 
Грузовик загружен одинаковыми гладкими бревнами. Он заехал в кювет и стоит, накренившись на один борт, причем дно кузова образует с горизонталью угол $\theta$ (крена в продольном направлении нет - грузовик стоит «на ровном киле»). Заканчивается разгрузка кузова. Если удалить бревно, показанное на рисунке пунктиром, то последние три бревна при малейшем уменьшении угла $\theta$ раскатятся. Найдите угол $\theta$.
Решение:
Пронумеруем бревна, как показано на рисунке. Пусть бревно 2 при небольшом уменьшении угла $\theta$ начнет двигаться вниз, выталкивая бревно 3 вверх по кузову. Ясно, что в конце движения бревно 2 займет положение бревна 3, а бревно 3-положение, показанное на рисунке пунктиром. Так как при первоначальном расположении бревна находились в равновесии, изменение потенциальной энергии бревен при рассмотренных перемещениях должно равняться нулю. Это возможно только в том случае, если центр бревна 2 в первом и центр бревна 3 во втором случаях находятся на одной и той же высоте. Обозначим указанные высоты через $y_{1}$ и $y_{2}$ соответственно. Вычисление $y_{2}$ не вызывает никаких затруднений. Непосредственно из рисунка видно, что $y_{2} = R \cos \theta + 5R \sin \theta$, где $R$ - радиус бревна.
Для вычисления $y_{1}$ замечаем, что $y_{1} = O_{2}A + O_{1}B$. Из прямоугольного треугольника $O_{1}O_{2}A$ находим
$O_{2}A = 2R \sin (60^{ \circ} + \theta)$,
так как $O_{1}O_{2}O_{3}$ равносторонний треугольник со стороной $2R$, а $\angle O_{3}O_{1}A = \theta$. Из треугольника $OO_{1}B$ следует
$O_{1}B = \sqrt{2}R \sin (45^{ \circ} + \theta)$,
так как $OO_{1} = \sqrt{2} R$ есть не что иное, как гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника $OCO_{1}$ длина катета которого равна $R$. Таким образом,
$y_{1} = 2R \sin (60^{ \circ} + \theta) + \sqrt{2} R \sin (45^{ \circ} + \theta) = 2R \sin \theta + ( \sqrt{3} + 1 ) R \cos \theta$.
Наконец, приравнивая $y_{1}$ и $y_{2}$, получаем
$R \cos \theta + 5R \sin \theta = 2R \sin \theta + ( \sqrt{3} + 1) R \cos \theta$, откуда
$tg \theta = \frac{1 }{ \sqrt{3} }$ и $\theta = 30^{ \circ}$.
Грузовик загружен одинаковыми гладкими бревнами. Он заехал в кювет и стоит, накренившись на один борт, причем дно кузова образует с горизонталью угол $\theta$ (крена в продольном направлении нет - грузовик стоит «на ровном киле»). Заканчивается разгрузка кузова. Если удалить бревно, показанное на рисунке пунктиром, то последние три бревна при малейшем уменьшении угла $\theta$ раскатятся. Найдите угол $\theta$.
Решение:
Пронумеруем бревна, как показано на рисунке. Пусть бревно 2 при небольшом уменьшении угла $\theta$ начнет двигаться вниз, выталкивая бревно 3 вверх по кузову. Ясно, что в конце движения бревно 2 займет положение бревна 3, а бревно 3-положение, показанное на рисунке пунктиром. Так как при первоначальном расположении бревна находились в равновесии, изменение потенциальной энергии бревен при рассмотренных перемещениях должно равняться нулю. Это возможно только в том случае, если центр бревна 2 в первом и центр бревна 3 во втором случаях находятся на одной и той же высоте. Обозначим указанные высоты через $y_{1}$ и $y_{2}$ соответственно. Вычисление $y_{2}$ не вызывает никаких затруднений. Непосредственно из рисунка видно, что $y_{2} = R \cos \theta + 5R \sin \theta$, где $R$ - радиус бревна.
Для вычисления $y_{1}$ замечаем, что $y_{1} = O_{2}A + O_{1}B$. Из прямоугольного треугольника $O_{1}O_{2}A$ находим
$O_{2}A = 2R \sin (60^{ \circ} + \theta)$,
так как $O_{1}O_{2}O_{3}$ равносторонний треугольник со стороной $2R$, а $\angle O_{3}O_{1}A = \theta$. Из треугольника $OO_{1}B$ следует
$O_{1}B = \sqrt{2}R \sin (45^{ \circ} + \theta)$,
так как $OO_{1} = \sqrt{2} R$ есть не что иное, как гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника $OCO_{1}$ длина катета которого равна $R$. Таким образом,
$y_{1} = 2R \sin (60^{ \circ} + \theta) + \sqrt{2} R \sin (45^{ \circ} + \theta) = 2R \sin \theta + ( \sqrt{3} + 1 ) R \cos \theta$.
Наконец, приравнивая $y_{1}$ и $y_{2}$, получаем
$R \cos \theta + 5R \sin \theta = 2R \sin \theta + ( \sqrt{3} + 1) R \cos \theta$, откуда
$tg \theta = \frac{1 }{ \sqrt{3} }$ и $\theta = 30^{ \circ}$.
