2016-09-18
Через скользкое круглое бревно радиусом $R$, ось которого горизонтальна, перекинута невесомая верёвка, к концам которой прикреплены груз и тонкий однородный жёсткий стержень (см. рисунок). В положении устойчивого равновесия стержень составляет с горизонтом угол $\alpha = 30^{ \circ}$, расстояние от конца стержня, к которому прикреплена верёвка, до точки касания стержня и бревна составляет $R/ \sqrt{2}$. Найдите отношение масс груза и стержня.
Решение:
Обозначим ось бревна буквой $O$, точку касания стержня и бревна — $A$, конец стержня, нависающий над бревном — $B$, точку касания бревна и верёвки, удерживающей стержень, буквой $C$ (см. рис.). Треугольники $OAB$ и $OCB$ равны как прямоугольные, имеющие общую гипотенузу и равные катеты. Поэтому $\angle OBA = \angle OBC = \phi$.
Поскольку верёвка, удерживающая стержень, невесома, и трения нет, то её сила натяжения постоянна по всей длине и равна $Mg$, где $M$ — масса груза. Так как бревно скользкое, то для того, чтобы стержень находился в равновесии, необходимо, чтобы проекция суммарной силы на направление вдоль стержня была равна нулю:
$mg \sin \alpha = Mg \cos ( \pi - 2 \phi) = Mg( \sin^{2} \phi — \cos^{2} \phi)$.
Здесь $m$ - масса стержня. Так как $AB = R / \sqrt{2}$, то из треугольника $OAB$ находим: $tg \phi = \frac{OA}{AB} = \sqrt{2}$. Далее, воспользовавшись известными тригонометрическими соотношениями, получаем:
$\frac{M}{m} = \frac{ \sin \alpha}{ \sin^{2} \phi - \cos^{2} \phi} = \frac{ \sin \alpha (tg^{2} \phi + 1)}{tg^{2} \phi - 1} = \frac{3}{2}$.