Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10639
2019-06-22 
Рассмотрение статического равновесия в отсутствие трения можно свести, используя принцип виртуальных перемещений, к проблеме чисто геометрического характера: куда сместится одна точка, если малое смещение другой задано? Во многих случаях на этот вопрос легко ответить, используя следующие свойства треугольников:
I. Если при постоянной длине сторон $d_{1}$ и $d_{2}$ угол меняется на малую величину $\Delta \alpha$, то длина противолежащей стороны $L$ меняется на
$\Delta L = \frac{d_{1}d_{2} }{L} \sin \alpha \Delta \alpha$.
II. Если длины сторон прямоугольного треугольника $a, b$ и $c$ изменяются соответственно на $\Delta a, \Delta b$ и $\Delta c$, то эти изменения связаны между собой соотношением
$a \Delta a + b \Delta b = c \Delta c$
($c$ - гипотенуза). Можете ли вы доказать эти формулы?
Решение:
I. Пусть стороны треугольника равны $d_{1}, d_{2}$ и $L_{1}$ а угол между сторонами $d_{1}$ и $d_{2}$ равен $\alpha$. Тогда, как известно, $L^{2} = d_{1}^{2} + d_{2}^{2} - 2d_{1}d_{2} \cos \alpha$. Увеличим угол $\alpha$ на небольшую величину $\Delta \alpha$. Сторона, лежащая против этого угла, станет равной $L_{1}$, т. е. увеличится на небольшую величину $\Delta L = L_{1} - L$. Но, по той же теореме косинусов, $L_{1}^{2} = d_{1}^{2} + d_{2}^{2} - 2d_{1}d_{2} \cos ( \alpha + \Delta \alpha)$. Вспоминая, что $\cos ( \alpha + \Delta \alpha) = \cos \alpha \cos \Delta \alpha - \sin \alpha \sin \Delta \alpha$ и что для малых углов $\cos \Delta \alpha \approx 1, \sin \Delta \alpha \approx \Delta \alpha$, находим
$L_{1}^{2} = d_{1}^{2} + d_{2}^{2} - 2d_{1}d_{2} ( \cos \alpha - \Delta \alpha \sin \alpha)$.
Вычитая $L^{2}$ из $L_{1}^{2}$, получаем
$L_{1}^{2} - L^{2} = 2d_{1}d_{2} \Delta \alpha \sin \alpha$.
С другой стороны,
$L_{1}^{2} - L^{2} = (L_{1} - L)(L_{1} + L) = 2L \Delta L, (L_{1} + L_{2} \approx 2L)$.
Сравнивая эти выражения для разности квадратов сторон, получаем приведенную в тексте задачи формулу
$\Delta L = \frac{d_{1}d_{2} }{L} \sin \alpha \Delta \alpha$.
II. Катеты $a$ и $b$ и гипотенуза с прямоугольного треугольника по теореме Пифагора связаны соотношением $c^{2} = a^{2} + b^{2}$. Увеличим длины катетов на небольшие отрезки $\Delta a$ и $\Delta b$, длина гипотенузы треугольника при этом также увеличится и станет равной $c + \Delta c$. Согласно теореме Пифагора, $(c + \Delta c)^{2} = (a + \Delta a)^{2} + (b + \Delta b)^{2}$ или $c^{2} + 2c \Delta c = a^{2} + + 2a \Delta a + b^{2} + 2b \Delta b$. Записывая последнее равенство, мы пренебрегли квадратами малых величин $( \Delta a)^{2}, ( \Delta b)^{2}$ и $( \Delta c)^{2}$ по сравнению с членами типа $a^{2}$ и $a \Delta a$. Вычитая $c^{2}$ из $(c + \Delta c)^{2}$, находим
$2c \Delta c = 2a \Delta a + 2 b \Delta b$.
Отсюда
$c \Delta c = a \Delta a + 2b \Delta b$.
Рассмотрение статического равновесия в отсутствие трения можно свести, используя принцип виртуальных перемещений, к проблеме чисто геометрического характера: куда сместится одна точка, если малое смещение другой задано? Во многих случаях на этот вопрос легко ответить, используя следующие свойства треугольников:
I. Если при постоянной длине сторон $d_{1}$ и $d_{2}$ угол меняется на малую величину $\Delta \alpha$, то длина противолежащей стороны $L$ меняется на
$\Delta L = \frac{d_{1}d_{2} }{L} \sin \alpha \Delta \alpha$.
II. Если длины сторон прямоугольного треугольника $a, b$ и $c$ изменяются соответственно на $\Delta a, \Delta b$ и $\Delta c$, то эти изменения связаны между собой соотношением
$a \Delta a + b \Delta b = c \Delta c$
($c$ - гипотенуза). Можете ли вы доказать эти формулы?
Решение:
I. Пусть стороны треугольника равны $d_{1}, d_{2}$ и $L_{1}$ а угол между сторонами $d_{1}$ и $d_{2}$ равен $\alpha$. Тогда, как известно, $L^{2} = d_{1}^{2} + d_{2}^{2} - 2d_{1}d_{2} \cos \alpha$. Увеличим угол $\alpha$ на небольшую величину $\Delta \alpha$. Сторона, лежащая против этого угла, станет равной $L_{1}$, т. е. увеличится на небольшую величину $\Delta L = L_{1} - L$. Но, по той же теореме косинусов, $L_{1}^{2} = d_{1}^{2} + d_{2}^{2} - 2d_{1}d_{2} \cos ( \alpha + \Delta \alpha)$. Вспоминая, что $\cos ( \alpha + \Delta \alpha) = \cos \alpha \cos \Delta \alpha - \sin \alpha \sin \Delta \alpha$ и что для малых углов $\cos \Delta \alpha \approx 1, \sin \Delta \alpha \approx \Delta \alpha$, находим
$L_{1}^{2} = d_{1}^{2} + d_{2}^{2} - 2d_{1}d_{2} ( \cos \alpha - \Delta \alpha \sin \alpha)$.
Вычитая $L^{2}$ из $L_{1}^{2}$, получаем
$L_{1}^{2} - L^{2} = 2d_{1}d_{2} \Delta \alpha \sin \alpha$.
С другой стороны,
$L_{1}^{2} - L^{2} = (L_{1} - L)(L_{1} + L) = 2L \Delta L, (L_{1} + L_{2} \approx 2L)$.
Сравнивая эти выражения для разности квадратов сторон, получаем приведенную в тексте задачи формулу
$\Delta L = \frac{d_{1}d_{2} }{L} \sin \alpha \Delta \alpha$.
II. Катеты $a$ и $b$ и гипотенуза с прямоугольного треугольника по теореме Пифагора связаны соотношением $c^{2} = a^{2} + b^{2}$. Увеличим длины катетов на небольшие отрезки $\Delta a$ и $\Delta b$, длина гипотенузы треугольника при этом также увеличится и станет равной $c + \Delta c$. Согласно теореме Пифагора, $(c + \Delta c)^{2} = (a + \Delta a)^{2} + (b + \Delta b)^{2}$ или $c^{2} + 2c \Delta c = a^{2} + + 2a \Delta a + b^{2} + 2b \Delta b$. Записывая последнее равенство, мы пренебрегли квадратами малых величин $( \Delta a)^{2}, ( \Delta b)^{2}$ и $( \Delta c)^{2}$ по сравнению с членами типа $a^{2}$ и $a \Delta a$. Вычитая $c^{2}$ из $(c + \Delta c)^{2}$, находим
$2c \Delta c = 2a \Delta a + 2 b \Delta b$.
Отсюда
$c \Delta c = a \Delta a + 2b \Delta b$.
