Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10638
2019-06-22 
В бак с площадью поперечного сечения $A$ налита жидкость плотности $\rho$. Жидкость свободно вытекает из небольшого отверстия, расположенного на расстоянии $H$ ниже уровня жидкости. Площадь отверстия равна $\alpha$. Если внутреннее трение (вязкость) в жидкости отсутствует, с какой скоростью она вытекает из отверстия?
Решение:
Пусть уровень воды в баке уменьшится на небольшую глубину $\Delta h$. Это значит, что небольшая масса воды $\Delta m = \rho A \Delta h$ ($\Delta h \cdot A$ - объем вытекшей жидкости, а $\rho$ - ее плотность) вытекла из сосуда через отверстие $\alpha$ с некоторой скоростью $v$. Так как площадь отверстия мала по сравнению с площадью поперечного сечения сосуда ($\alpha \ll A$), скоростью изменения уровня жидкости в сосуде можно пренебречь. Изменение потенциальной энергии жидкости равно $\Delta mgH$, а изменение ее кинетической энергии есть $\frac{ \Delta mv^{2}}{2}$.
Из закона сохранения энергии
$\Delta mgH = \frac{ \Delta mv^{2} }{2}$,
так что $v= \sqrt{2gH}$. Таким образом, в принятом приближении скорость вытекания жидкости не зависит ни от площади поперечного сечения сосуда, ни от сечения отверстия, а только от уровня жидкости над отверстием.
Можно учесть и скорость изменения уровня жидкости в сосуде, которую обозначим через $v_{1}$. В этом случае изменение кинетической энергии равно
$\frac{ \Delta mv^{2}}{2} - \frac{ \Delta mv_{1}^{2} }{2}$
(а не $\frac{ \Delta mv^{2}}{2}$, как мы считали раньше). Через поперечное сечение сосуда в единицу времени протекает объем жидкости $v_{1}A$, а через сечение $\alpha$ за то же время вытекает объем $v \alpha$. Так как жидкость практически несжимаема, $v_{1}A = v \alpha$, так что $v_{1} = \frac{ \alpha}{A} v$.
Учитывая это, изменение кинетической энергии жидкости запишем как $\frac{ \Delta m}{2} \left [1 - \left ( \frac{ \alpha}{A} \right )^{2} \right ]$, а закон сохранения энергии в виде $\frac{ \Delta m}{2} v^{2} \left [1 - \left ( \frac{ \alpha}{A} \right )^{2} \right ] = \Delta m gH$. Из последнего выражения находим скорость вытекания жидкости из сосуда:
$v = \frac{ \sqrt{2gH} }{1 - \left ( \frac{ \alpha}{A} \right )^{2} }$
В бак с площадью поперечного сечения $A$ налита жидкость плотности $\rho$. Жидкость свободно вытекает из небольшого отверстия, расположенного на расстоянии $H$ ниже уровня жидкости. Площадь отверстия равна $\alpha$. Если внутреннее трение (вязкость) в жидкости отсутствует, с какой скоростью она вытекает из отверстия?
Решение:
Пусть уровень воды в баке уменьшится на небольшую глубину $\Delta h$. Это значит, что небольшая масса воды $\Delta m = \rho A \Delta h$ ($\Delta h \cdot A$ - объем вытекшей жидкости, а $\rho$ - ее плотность) вытекла из сосуда через отверстие $\alpha$ с некоторой скоростью $v$. Так как площадь отверстия мала по сравнению с площадью поперечного сечения сосуда ($\alpha \ll A$), скоростью изменения уровня жидкости в сосуде можно пренебречь. Изменение потенциальной энергии жидкости равно $\Delta mgH$, а изменение ее кинетической энергии есть $\frac{ \Delta mv^{2}}{2}$.
Из закона сохранения энергии
$\Delta mgH = \frac{ \Delta mv^{2} }{2}$,
так что $v= \sqrt{2gH}$. Таким образом, в принятом приближении скорость вытекания жидкости не зависит ни от площади поперечного сечения сосуда, ни от сечения отверстия, а только от уровня жидкости над отверстием.
Можно учесть и скорость изменения уровня жидкости в сосуде, которую обозначим через $v_{1}$. В этом случае изменение кинетической энергии равно
$\frac{ \Delta mv^{2}}{2} - \frac{ \Delta mv_{1}^{2} }{2}$
(а не $\frac{ \Delta mv^{2}}{2}$, как мы считали раньше). Через поперечное сечение сосуда в единицу времени протекает объем жидкости $v_{1}A$, а через сечение $\alpha$ за то же время вытекает объем $v \alpha$. Так как жидкость практически несжимаема, $v_{1}A = v \alpha$, так что $v_{1} = \frac{ \alpha}{A} v$.
Учитывая это, изменение кинетической энергии жидкости запишем как $\frac{ \Delta m}{2} \left [1 - \left ( \frac{ \alpha}{A} \right )^{2} \right ]$, а закон сохранения энергии в виде $\frac{ \Delta m}{2} v^{2} \left [1 - \left ( \frac{ \alpha}{A} \right )^{2} \right ] = \Delta m gH$. Из последнего выражения находим скорость вытекания жидкости из сосуда:
$v = \frac{ \sqrt{2gH} }{1 - \left ( \frac{ \alpha}{A} \right )^{2} }$
