Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10633
2019-06-22 
В дифференциальном вороте, который схематически изображен на рисунке, используется цепь, погонный метр которой содержит $N$ звеньев. Шкивы верхнего блока снабжены зубцами, которые продеваются в звенья цепи, причем шкив большего диаметра имеет $n$ зубцов, а шкив меньшего диаметра $n - 1$. Трение в системе таково, что силы, необходимые для подъема или опускания груза $W$, отличаются в $R$ раз. Предполагая, что трение от направления движения не зависит, найдите эти силы.
Решение:
По условию задачи $\frac{F_{1}}{F_{2}} = R$, где $F_{1}$ и $F_{2}$ - силы, которые необходимо приложить к цепи для перемещения груза $W$ вверх и вниз соответственно. Используем принцип виртуальной работы для этих двух случаев.
Предположим сначала, что, выбирая верхнюю часть ведущей цепи ворота с силой $F_{1}$, мы повернули верхний блок на полный оборот против часовой стрелки. При этом мы, очевидно, протянули п звеньев цепи, или же $\frac{n}{N}$ м, так как длина одного звена цепи равна $\frac{1}{N}$ м. Посмотрим теперь, что происходит с грузом $W$. Правая часть цепи, на которой висит подвижный блок, поднялась на $n$ звеньев, зато левая опустилась на $n - 1$ звено, так что груз $W$ поднялся на высоту $\frac{n - (n - 1)}{2N}$ м. Если обозначить через $X$ работу сил трения при одном обороте верхнего блока, то из закона сохранения энергии имеем
$\frac{n}{N}F_{1} = X + \frac{W}{2N}$.
Чтобы повернуть верхний блок на один оборот по часовой стрелке, необходимо протянуть $n-1$ звено [или $\frac{n-1}{N}$ м] нижней части ведущей цепи ворота с силой $F_{2}$. При этом груз $W$ опустится на расстояние $\frac{n -(n - 1)}{2N}$ м. Так как по предположению сила трения не зависит от направления движения груза $W$ и поскольку каждый раз мы рассматриваем один полный оборот верхнего блока, работа сил трения в этом случае та же, что и в предыдущем, т. е. равна $X$. Согласно закону сохранения энергии,
$X = \frac{n - 1}{N} F_{2} + \frac{W}{2N}$.
Таким образом, для неизвестных сил $F_{1}$ и $F_{2}$ и работы сил трения получаем следующую систему трех уравнений:
$\frac{n}{N} F_{1} = X + \frac{W}{2N}$,
$\frac{n-1}{N} F_{2} = X - \frac{W}{2N}$,
$\frac{F_{1} }{F_{2} } = R$.
Решая эту систему уравнений, находим
$F_{2} = \frac{W}{n(R - 1) + 1}$
и
$F_{1} = \frac{WR}{n(R - 1) + 1}$.
В дифференциальном вороте, который схематически изображен на рисунке, используется цепь, погонный метр которой содержит $N$ звеньев. Шкивы верхнего блока снабжены зубцами, которые продеваются в звенья цепи, причем шкив большего диаметра имеет $n$ зубцов, а шкив меньшего диаметра $n - 1$. Трение в системе таково, что силы, необходимые для подъема или опускания груза $W$, отличаются в $R$ раз. Предполагая, что трение от направления движения не зависит, найдите эти силы.
Решение:
По условию задачи $\frac{F_{1}}{F_{2}} = R$, где $F_{1}$ и $F_{2}$ - силы, которые необходимо приложить к цепи для перемещения груза $W$ вверх и вниз соответственно. Используем принцип виртуальной работы для этих двух случаев.
Предположим сначала, что, выбирая верхнюю часть ведущей цепи ворота с силой $F_{1}$, мы повернули верхний блок на полный оборот против часовой стрелки. При этом мы, очевидно, протянули п звеньев цепи, или же $\frac{n}{N}$ м, так как длина одного звена цепи равна $\frac{1}{N}$ м. Посмотрим теперь, что происходит с грузом $W$. Правая часть цепи, на которой висит подвижный блок, поднялась на $n$ звеньев, зато левая опустилась на $n - 1$ звено, так что груз $W$ поднялся на высоту $\frac{n - (n - 1)}{2N}$ м. Если обозначить через $X$ работу сил трения при одном обороте верхнего блока, то из закона сохранения энергии имеем
$\frac{n}{N}F_{1} = X + \frac{W}{2N}$.
Чтобы повернуть верхний блок на один оборот по часовой стрелке, необходимо протянуть $n-1$ звено [или $\frac{n-1}{N}$ м] нижней части ведущей цепи ворота с силой $F_{2}$. При этом груз $W$ опустится на расстояние $\frac{n -(n - 1)}{2N}$ м. Так как по предположению сила трения не зависит от направления движения груза $W$ и поскольку каждый раз мы рассматриваем один полный оборот верхнего блока, работа сил трения в этом случае та же, что и в предыдущем, т. е. равна $X$. Согласно закону сохранения энергии,
$X = \frac{n - 1}{N} F_{2} + \frac{W}{2N}$.
Таким образом, для неизвестных сил $F_{1}$ и $F_{2}$ и работы сил трения получаем следующую систему трех уравнений:
$\frac{n}{N} F_{1} = X + \frac{W}{2N}$,
$\frac{n-1}{N} F_{2} = X - \frac{W}{2N}$,
$\frac{F_{1} }{F_{2} } = R$.
Решая эту систему уравнений, находим
$F_{2} = \frac{W}{n(R - 1) + 1}$
и
$F_{1} = \frac{WR}{n(R - 1) + 1}$.
