Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1063
2016-09-18 
На гладкое горизонтальное бревно радиусом $R = 10 см$ кладут сверху «книжку», составленную из двух одинаковых тонких квадратных пластинок со стороной $l = 40 см$, скреплённых с одного края липкой лентой (см. рисунок). Какой угол составят пластинки при равновесии?
Решение:
Пусть $m$ — масса каждой пластинки, $N$ — сила реакции со стороны бревна, $\alpha$ — угол, равный половине угла раствора «книжки» (см. рис.). Запишем условие равновесия «книжки» в проекции на вертикальную ось:
$2mg — 2N \sin \alpha = 0$.
Рассмотрим далее, например, только левую пластинку. Так как она покоится, то сумма моментов всех действующих на неё сил, вычисленная относительно оси $O$, проходящей по линии склейки пластинок, равна нулю:
$NR ctg \alpha — mg \sin \alpha \cdot \frac{l}{2} = 0$.
Из написанных соотношений, с учётом того, что $l/R = 4$, получим уравнение относительно $ctg \alpha$:
$ctg^{3} \alpha + ctg \alpha - 2 = 0$.
Находящееся в его левой части выражение легко раскладывается на множители:
$(ctg \alpha - 1)(ctg^{2} \alpha + ctg \alpha + 2) = 0$.
Так как второй множитель строго положителен (он представляет собой квадратный трёхчлен с отрицательным дискриминантом), то единственному решению рассматриваемого уравнения соответствует $ctg \alpha = 1$. Следовательно, $\alpha = 45^{ \circ}$, и искомый угол между пластинками равен $2 \alpha = 90^{ \circ}$.
На гладкое горизонтальное бревно радиусом $R = 10 см$ кладут сверху «книжку», составленную из двух одинаковых тонких квадратных пластинок со стороной $l = 40 см$, скреплённых с одного края липкой лентой (см. рисунок). Какой угол составят пластинки при равновесии?
Решение:
Пусть $m$ — масса каждой пластинки, $N$ — сила реакции со стороны бревна, $\alpha$ — угол, равный половине угла раствора «книжки» (см. рис.). Запишем условие равновесия «книжки» в проекции на вертикальную ось:
$2mg — 2N \sin \alpha = 0$.
Рассмотрим далее, например, только левую пластинку. Так как она покоится, то сумма моментов всех действующих на неё сил, вычисленная относительно оси $O$, проходящей по линии склейки пластинок, равна нулю:
$NR ctg \alpha — mg \sin \alpha \cdot \frac{l}{2} = 0$.
Из написанных соотношений, с учётом того, что $l/R = 4$, получим уравнение относительно $ctg \alpha$:
$ctg^{3} \alpha + ctg \alpha - 2 = 0$.
Находящееся в его левой части выражение легко раскладывается на множители:
$(ctg \alpha - 1)(ctg^{2} \alpha + ctg \alpha + 2) = 0$.
Так как второй множитель строго положителен (он представляет собой квадратный трёхчлен с отрицательным дискриминантом), то единственному решению рассматриваемого уравнения соответствует $ctg \alpha = 1$. Следовательно, $\alpha = 45^{ \circ}$, и искомый угол между пластинками равен $2 \alpha = 90^{ \circ}$.
