Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10628
2019-06-22 
Лестница длиной 3 м приставлена под углом к гладкой вертикальной стене. В верхнем ее конце имеются ролики (см. рисунок). Лестница весит 12 кг. На расстоянии 0,75 м от ее верхнего конца подвешен груз 24 кг. Найдите:
а) силу, с которой ролики давят на стену;
б) горизонтальную и вертикальную составляющие силы, с которой лестница давит на землю.
Решение:
Введем следующие обозначения: $F_{1}$ -сила давления роликов на вертикальную стену; $F_{2}$ и $F_{3}$ - горизонтальная и вертикальная составляющие силы давления лестницы на землю. Очевидно, что $F_{1}$ направлена налево, $F_{2}$ - направо, a $F_{3}$ - вниз. Силы, приложенные к лестнице, равны по величине $F_{1}, F_{2}$ и $F_{3}$ и направлены в противоположных направлениях.
Рассмотрим следующие виртуальные перемещения лестницы. Пусть она сместится вниз параллельно себе самой на расстояние $y$. Неважно, что в действительности лестница так двигаться не может, ведь это перемещение воображаемое. В результате указанного перемещения потенциальная энергия лестницы и груза уменьшится на $(W + P)y$, а сила $F_{3}$ совершит работу $F_{3} y$. Из закона сохранения энергии следует равенство этих двух величин, так что $(W + P)u = F_{3}y$ и, следовательно, $F_{3} = W + P = 36 кГ$ ($P$ -вес лестницы).
Выберем теперь другое виртуальное перемещение, состоящее в переносе лестницы параллельно себе в горизонтальном направлении, скажем вправо, на расстояние $x$. Аналогично предыдущему случаю можно написать $F_{1}x = F_{2}x$, откуда $F_{1} = F_{2}$. Чтобы найти численные величины этих сил, необходимо иметь еще одно уравнение. Его можно получить, записав закон сохранения энергии при виртуальном повороте лестницы на небольшой угол вокруг оси, проходящей через нижний конец лестницы. Пусть $\alpha$ - угол, который образует лестница с Землей, а $\phi$ - тот малый угол, на который повернута лестница (по часовой стрелке). Точка, находящаяся на расстоянии $l$ от оси вращения, опишет дугу длиной $l \phi$. Так как угол $\phi$ мал, можно считать, что стягивающая дугу хорда имеет ту же длину и образует угол $\alpha$, но с вертикальной стенкой (т. е. хорда перпендикулярна лестнице). Поэтому рассматриваемая точка при виртуальном повороте сместится вверх на величину $l \phi \cos \alpha$ и вправо - на $l \phi \sin \alpha$.
Используя только что полученный результат, убеждаемся в том, что при повороте на малый угол $\phi$ потенциальная энергия лестницы с грузом увеличится на $\frac{1}{2} PL \cos \alpha + \frac{3}{4} WL \phi \cos \alpha$, а сила $F_{1}$ совершит работу $F_{1}L \phi \sin \alpha$ ($L$ - длина лестницы). Из закона сохранения энергии
$F_{1}L \phi \sin \phi = \frac{1}{2} PL \phi \cos \alpha + \frac{3}{4} WL \phi \cos \alpha$,
откуда
$F_{1} = \frac{ \left ( \frac{P}{2} + \frac{3W}{4} \right ) L \cos \alpha}{L \sin \alpha}$.
По условию задачи $L \cos \alpha = 1,8 м, L \sin \alpha = 2,4 м$, так что $F_{1} = 18 кГ$.
Лестница длиной 3 м приставлена под углом к гладкой вертикальной стене. В верхнем ее конце имеются ролики (см. рисунок). Лестница весит 12 кг. На расстоянии 0,75 м от ее верхнего конца подвешен груз 24 кг. Найдите:
а) силу, с которой ролики давят на стену;
б) горизонтальную и вертикальную составляющие силы, с которой лестница давит на землю.
Решение:
Введем следующие обозначения: $F_{1}$ -сила давления роликов на вертикальную стену; $F_{2}$ и $F_{3}$ - горизонтальная и вертикальная составляющие силы давления лестницы на землю. Очевидно, что $F_{1}$ направлена налево, $F_{2}$ - направо, a $F_{3}$ - вниз. Силы, приложенные к лестнице, равны по величине $F_{1}, F_{2}$ и $F_{3}$ и направлены в противоположных направлениях.
Рассмотрим следующие виртуальные перемещения лестницы. Пусть она сместится вниз параллельно себе самой на расстояние $y$. Неважно, что в действительности лестница так двигаться не может, ведь это перемещение воображаемое. В результате указанного перемещения потенциальная энергия лестницы и груза уменьшится на $(W + P)y$, а сила $F_{3}$ совершит работу $F_{3} y$. Из закона сохранения энергии следует равенство этих двух величин, так что $(W + P)u = F_{3}y$ и, следовательно, $F_{3} = W + P = 36 кГ$ ($P$ -вес лестницы).
Выберем теперь другое виртуальное перемещение, состоящее в переносе лестницы параллельно себе в горизонтальном направлении, скажем вправо, на расстояние $x$. Аналогично предыдущему случаю можно написать $F_{1}x = F_{2}x$, откуда $F_{1} = F_{2}$. Чтобы найти численные величины этих сил, необходимо иметь еще одно уравнение. Его можно получить, записав закон сохранения энергии при виртуальном повороте лестницы на небольшой угол вокруг оси, проходящей через нижний конец лестницы. Пусть $\alpha$ - угол, который образует лестница с Землей, а $\phi$ - тот малый угол, на который повернута лестница (по часовой стрелке). Точка, находящаяся на расстоянии $l$ от оси вращения, опишет дугу длиной $l \phi$. Так как угол $\phi$ мал, можно считать, что стягивающая дугу хорда имеет ту же длину и образует угол $\alpha$, но с вертикальной стенкой (т. е. хорда перпендикулярна лестнице). Поэтому рассматриваемая точка при виртуальном повороте сместится вверх на величину $l \phi \cos \alpha$ и вправо - на $l \phi \sin \alpha$.
Используя только что полученный результат, убеждаемся в том, что при повороте на малый угол $\phi$ потенциальная энергия лестницы с грузом увеличится на $\frac{1}{2} PL \cos \alpha + \frac{3}{4} WL \phi \cos \alpha$, а сила $F_{1}$ совершит работу $F_{1}L \phi \sin \alpha$ ($L$ - длина лестницы). Из закона сохранения энергии
$F_{1}L \phi \sin \phi = \frac{1}{2} PL \phi \cos \alpha + \frac{3}{4} WL \phi \cos \alpha$,
откуда
$F_{1} = \frac{ \left ( \frac{P}{2} + \frac{3W}{4} \right ) L \cos \alpha}{L \sin \alpha}$.
По условию задачи $L \cos \alpha = 1,8 м, L \sin \alpha = 2,4 м$, так что $F_{1} = 18 кГ$.
