Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10626
2019-06-22 
Вам дано большое число стальных шариков равного диаметра $d$ и сосуд известного объема $V$. Все габариты сосуда много больше диаметра шариков. Какое максимальное число шариков может поместиться в сосуде?
Решение:
Посмотрим, как разместятся шарики при наиболее плотной упаковке (как раз тогда в сосуде поместится максимальное число шариков). Первый слой шариков ляжет так, что каждый шарик соприкоснется с шестью другими (положение центров шариков этого слоя показано на рис. а черными точками). Шарики второго слоя лягут в «ямки» первого слоя, так что каждый шарик второго слоя соприкоснется с тремя шариками нижнего (обратите внимание, что используется только половина «ямок» первого слоя), а в остальном второй слой выглядит точно так же, как первый, только смещен относительно него в вертикальном направлении. Центры шариков второго слоя, если смотреть на них сверху, займут положение, обозначенное на рис. а светлыми кружочками. Третий слой шариков можно наложить двумя разными способами: шарики могут лечь в те «ямки» второго слоя, которые находятся над центрами шариков нижнего слоя, тогда получится, что шарики третьего слоя лежат точно над шариками первого слоя (центры шаров верхнего слоя обозначены крестиками). Если же шарики третьего слоя лягут в другие «ямки» второго слоя, то окажется, что они будут находится как раз над «свободными ямками» первого слоя (рис. б). Плотность упаковки и в том и в другом случаях одинакова, т. е. число шариков в единице объема в обоих случаях одинаково.
Укладывая таким же способом следующие слои шариков, замечаем, что их центры располагаются в пространстве в определенном порядке, т. е. образуют «кристаллическую» решетку. В первом из рассматриваемых случаев эта решетка, как легко заметить, имеет вид, приведенный на рис. в. Это так называемая гексагональная решетка.
Вид решетки, получающейся при втором способе укладки, приведен на рис. г (кубическая гранецентрированная решетка). Чтобы увидеть, что центры шариков расположены именно так, нужно представить себе, что одна из диагоналей куба, изображенного на рис. г, перпендикулярна горизонтальной плоскости, а шарики, центры которых лежат в вершинах куба, принадлежат четырем горизонтальным слоям.
Рассчитаем максимальное число помещающихся в сосуд шариков при каком-нибудь одном способе размещения, например втором. Длина ребра кубической гранецентрированной решетки, как видно из рис. д, равна $l = \sqrt{2d}$ ($d$-диаметр шарика). С каждым таким кубом связано 14 шариков: 8 находятся в вершинах куба, а 6 лежат в середине каждой из его граней. Но внутри куба лежит только часть каждого шарика, общий занимаемый ими объем равен объему 4 шариков (по половине от каждого из шариков, центры которых лежат на гранях куба и по 1/8 от шариков, находящихся в вершинах куба). В объеме $V$ помещается всего $V/V_{0}$ кубических ячеек, где $V_{0} = l^{3} = 2 \sqrt{2} d^{3}$ - объем одной ячейки, так что в сосуде объемом $V$ может быть помещено самое большее $N = 4 V/V_{0} = \sqrt{2} V/d^{3}$ шариков.
Вам дано большое число стальных шариков равного диаметра $d$ и сосуд известного объема $V$. Все габариты сосуда много больше диаметра шариков. Какое максимальное число шариков может поместиться в сосуде?
Решение:
Посмотрим, как разместятся шарики при наиболее плотной упаковке (как раз тогда в сосуде поместится максимальное число шариков). Первый слой шариков ляжет так, что каждый шарик соприкоснется с шестью другими (положение центров шариков этого слоя показано на рис. а черными точками). Шарики второго слоя лягут в «ямки» первого слоя, так что каждый шарик второго слоя соприкоснется с тремя шариками нижнего (обратите внимание, что используется только половина «ямок» первого слоя), а в остальном второй слой выглядит точно так же, как первый, только смещен относительно него в вертикальном направлении. Центры шариков второго слоя, если смотреть на них сверху, займут положение, обозначенное на рис. а светлыми кружочками. Третий слой шариков можно наложить двумя разными способами: шарики могут лечь в те «ямки» второго слоя, которые находятся над центрами шариков нижнего слоя, тогда получится, что шарики третьего слоя лежат точно над шариками первого слоя (центры шаров верхнего слоя обозначены крестиками). Если же шарики третьего слоя лягут в другие «ямки» второго слоя, то окажется, что они будут находится как раз над «свободными ямками» первого слоя (рис. б). Плотность упаковки и в том и в другом случаях одинакова, т. е. число шариков в единице объема в обоих случаях одинаково.
Укладывая таким же способом следующие слои шариков, замечаем, что их центры располагаются в пространстве в определенном порядке, т. е. образуют «кристаллическую» решетку. В первом из рассматриваемых случаев эта решетка, как легко заметить, имеет вид, приведенный на рис. в. Это так называемая гексагональная решетка.
Вид решетки, получающейся при втором способе укладки, приведен на рис. г (кубическая гранецентрированная решетка). Чтобы увидеть, что центры шариков расположены именно так, нужно представить себе, что одна из диагоналей куба, изображенного на рис. г, перпендикулярна горизонтальной плоскости, а шарики, центры которых лежат в вершинах куба, принадлежат четырем горизонтальным слоям.
Рассчитаем максимальное число помещающихся в сосуд шариков при каком-нибудь одном способе размещения, например втором. Длина ребра кубической гранецентрированной решетки, как видно из рис. д, равна $l = \sqrt{2d}$ ($d$-диаметр шарика). С каждым таким кубом связано 14 шариков: 8 находятся в вершинах куба, а 6 лежат в середине каждой из его граней. Но внутри куба лежит только часть каждого шарика, общий занимаемый ими объем равен объему 4 шариков (по половине от каждого из шариков, центры которых лежат на гранях куба и по 1/8 от шариков, находящихся в вершинах куба). В объеме $V$ помещается всего $V/V_{0}$ кубических ячеек, где $V_{0} = l^{3} = 2 \sqrt{2} d^{3}$ - объем одной ячейки, так что в сосуде объемом $V$ может быть помещено самое большее $N = 4 V/V_{0} = \sqrt{2} V/d^{3}$ шариков.
