Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10618
2019-06-22 
Действие происходит где-то в Калифорнии. На подоконнике возле раскрытого окна оставили стакан с водой.
а) Как вы думаете, сколько времени он так простоит, пока вода из него не испарится полностью?
б) Сколько молекул при этом будет испаряться с каждого квадратного сантиметра водной поверхности в секунду?
в) Существует ли связь, и если да, то какая, между ответом на вопрос (а) и среднегодовым количеством осадков, выпадающих на Землю?
Решение:
Рассмотрим сначала, как будет происходить испарение, если стакан накрыть крышкой и откачать из-под нее весь воздух. Пока водяного пара под крышкой мало, жидкость будет испаряться. Из воды все время будут вылетать молекулы воды, а из пара какое-то число молекул будет возвращаться в воду, т. е. конденсироваться. Через некоторое время в стакане установится динамическое равновесие: число вылетающих из воды молекул станет равным числу возвращающихся обратно. Если убрать крышку, вода начнет непрерывно испаряться, причем число вылетающих молекул будет таким же, как и тогда, когда стакан был накрыт, ведь процесс испарения зависит только от движения молекул в воде, число же возвращающихся в воду молекул зависит от количества водяных паров в воздухе над стаканом.
Оценим количество вылетающих из воды молекул в единицу времени при равновесии. Проще вычислять не это число, а равное ему число конденсирующихся молекул пара.
Пусть в единице объема воздуха над крышкой содержится $n$ молекул водяного пара. Число $n$ зависит только от температуры воздуха, оно измерено экспериментально; существуют таблицы зависимости $n$ от температуры. За промежуток времени $t$ поверхности воды достигнут только те молекулы пара (скорость молекулы $v$), которые находились в начальный момент времени не дальше, чем $v_{в}t$ ($v_{в}$ - вертикальная скорость молекулы). Другими словами, поверхности воды достигают те молекулы, которые находятся в объеме $Sv_{в}t$ над стаканом ($S$-площадь поперечного сечения стакана). Следовательно, в единицу времени конденсируется $\frac{1}{2}nSv$ молекул пара.
Как уже отмечалось, число испаряющихся молекул при снятой крышке будет таким же, как и при закрытой крышке. Но число конденсирующихся молекул зависит от того, сколько молекул пара содержится в единице объема воздуха над поверхностью жидкости. Будем считать, что влажность воздуха близка к нормальной.
Влажностью (относительной) называют отношение числа содержащихся в воздухе молекул водяного пара в данный момент времени к максимально возможному (т. е. числу молекул пара в единице объема при равновесии). Нормальной считается влажность около 60 - 80%. Мы положим, что влажность воздуха 50%, т. е. в единице объема воздуха содержится $n/2$ молекул водяного пара. В этом случае, как следует из предыдущего рассмотрения, в воду из пара должно конденсироваться $\frac{1}{4} nSv$ молекул. Однако так было бы лишь при условии, что над водой находятся только водяные пары, а не смесь воздуха с паром. При наличии воздуха молекулы из воды отлетают без столкновений только на длину свободного пробега $\lambda$ (это расстояние $\sim 3 \cdot 10^{-5} см$, см. задачу 10616), дальше они движутся от поверхности жидкости с очень малой скоростью (по сравнению с тепловой). Поэтому число конденсирующихся молекул определяется не плотностью пара на большом расстоянии от воды, а плотностью пара на расстоянии длины свободного пробега. Считая, что плотность пара в перпендикулярном к поверхности воды направлении меняется линейно, а на расстоянии примерно 1 см она равна уже $n/2$, находим, что плотность водяных паров на расстоянии $\lambda$ примерно равна
$\frac{n}{2} + \frac{n}{2} (1 - \lambda) = n \left (1 - \frac{ \lambda}{2} \right )$.
Таким образом, с поверхности воды в единицу времени испаряется около $\frac{n \lambda Sv}{4}$ молекул воды. После этого рассмотрения мы можем ответить на поставленные в задаче вопросы.
а) В стакане воды содержится $n_{в}Sh$ молекул воды, где $n_{в} = 3 \cdot 10^{22} см^{-3}$ - число молекул воды в $1 см^{3}$ (см. задачу 10616), a $h$ - высота стакана, которую примем равной 10 см. Вся вода испарится за время
$\frac{4 n_{в}h}{ \lambda n v} \approx 0,6 \cdot 10^{6} сек \approx 7$ дней
(при $t = 25^{ \circ} С, v = 6000 м/сек, n = 10^{18} см^{-3}$).
б) С площадки в $1 см^{2}$ каждую секунду испаряется $\frac{n \lambda v}{4} \approx 2 \cdot 10^{18}$ молекул.
в) В среднем за год должно испариться количество воды, равное среднегодовому количеству осадков. Конечно, полученное нами число в пункте (а) превышает количество осадков, так как для расчетов мы выбрали такие условия атмосферы, когда преобладает процесс испарения.
Действие происходит где-то в Калифорнии. На подоконнике возле раскрытого окна оставили стакан с водой.
а) Как вы думаете, сколько времени он так простоит, пока вода из него не испарится полностью?
б) Сколько молекул при этом будет испаряться с каждого квадратного сантиметра водной поверхности в секунду?
в) Существует ли связь, и если да, то какая, между ответом на вопрос (а) и среднегодовым количеством осадков, выпадающих на Землю?
Решение:
Рассмотрим сначала, как будет происходить испарение, если стакан накрыть крышкой и откачать из-под нее весь воздух. Пока водяного пара под крышкой мало, жидкость будет испаряться. Из воды все время будут вылетать молекулы воды, а из пара какое-то число молекул будет возвращаться в воду, т. е. конденсироваться. Через некоторое время в стакане установится динамическое равновесие: число вылетающих из воды молекул станет равным числу возвращающихся обратно. Если убрать крышку, вода начнет непрерывно испаряться, причем число вылетающих молекул будет таким же, как и тогда, когда стакан был накрыт, ведь процесс испарения зависит только от движения молекул в воде, число же возвращающихся в воду молекул зависит от количества водяных паров в воздухе над стаканом.
Оценим количество вылетающих из воды молекул в единицу времени при равновесии. Проще вычислять не это число, а равное ему число конденсирующихся молекул пара.
Пусть в единице объема воздуха над крышкой содержится $n$ молекул водяного пара. Число $n$ зависит только от температуры воздуха, оно измерено экспериментально; существуют таблицы зависимости $n$ от температуры. За промежуток времени $t$ поверхности воды достигнут только те молекулы пара (скорость молекулы $v$), которые находились в начальный момент времени не дальше, чем $v_{в}t$ ($v_{в}$ - вертикальная скорость молекулы). Другими словами, поверхности воды достигают те молекулы, которые находятся в объеме $Sv_{в}t$ над стаканом ($S$-площадь поперечного сечения стакана). Следовательно, в единицу времени конденсируется $\frac{1}{2}nSv$ молекул пара.
Как уже отмечалось, число испаряющихся молекул при снятой крышке будет таким же, как и при закрытой крышке. Но число конденсирующихся молекул зависит от того, сколько молекул пара содержится в единице объема воздуха над поверхностью жидкости. Будем считать, что влажность воздуха близка к нормальной.
Влажностью (относительной) называют отношение числа содержащихся в воздухе молекул водяного пара в данный момент времени к максимально возможному (т. е. числу молекул пара в единице объема при равновесии). Нормальной считается влажность около 60 - 80%. Мы положим, что влажность воздуха 50%, т. е. в единице объема воздуха содержится $n/2$ молекул водяного пара. В этом случае, как следует из предыдущего рассмотрения, в воду из пара должно конденсироваться $\frac{1}{4} nSv$ молекул. Однако так было бы лишь при условии, что над водой находятся только водяные пары, а не смесь воздуха с паром. При наличии воздуха молекулы из воды отлетают без столкновений только на длину свободного пробега $\lambda$ (это расстояние $\sim 3 \cdot 10^{-5} см$, см. задачу 10616), дальше они движутся от поверхности жидкости с очень малой скоростью (по сравнению с тепловой). Поэтому число конденсирующихся молекул определяется не плотностью пара на большом расстоянии от воды, а плотностью пара на расстоянии длины свободного пробега. Считая, что плотность пара в перпендикулярном к поверхности воды направлении меняется линейно, а на расстоянии примерно 1 см она равна уже $n/2$, находим, что плотность водяных паров на расстоянии $\lambda$ примерно равна
$\frac{n}{2} + \frac{n}{2} (1 - \lambda) = n \left (1 - \frac{ \lambda}{2} \right )$.
Таким образом, с поверхности воды в единицу времени испаряется около $\frac{n \lambda Sv}{4}$ молекул воды. После этого рассмотрения мы можем ответить на поставленные в задаче вопросы.
а) В стакане воды содержится $n_{в}Sh$ молекул воды, где $n_{в} = 3 \cdot 10^{22} см^{-3}$ - число молекул воды в $1 см^{3}$ (см. задачу 10616), a $h$ - высота стакана, которую примем равной 10 см. Вся вода испарится за время
$\frac{4 n_{в}h}{ \lambda n v} \approx 0,6 \cdot 10^{6} сек \approx 7$ дней
(при $t = 25^{ \circ} С, v = 6000 м/сек, n = 10^{18} см^{-3}$).
б) С площадки в $1 см^{2}$ каждую секунду испаряется $\frac{n \lambda v}{4} \approx 2 \cdot 10^{18}$ молекул.
в) В среднем за год должно испариться количество воды, равное среднегодовому количеству осадков. Конечно, полученное нами число в пункте (а) превышает количество осадков, так как для расчетов мы выбрали такие условия атмосферы, когда преобладает процесс испарения.
