Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10616
2019-06-22 
При обычных условиях воздух имеет плотность около $0,001 г/см^{3}$, тогда как плотность жидкого воздуха примерно $1 г/см^{3}$.
а) Оцените число молекул в $1 см^{3}$ газообразного и жидкого воздуха.
б) Оцените массу «молекулы» воздуха.
в) Рассчитайте среднее расстояние, которое молекула воздуха проходит между двумя последовательными соударениями с другими молекулами при нормальном давлении и температуре. Это расстояние называется длиной свободного пробега.
г) Оцените давление, до которого необходимо откачать вакуумную систему, чтобы длина свободного пробега в ней равнялась 1 м.
Решение:
а) Известно, что при нормальных условиях грамм-молекула любого вещества содержит $A$ молекул ($A = 6,02 \cdot 10^{23}$ - число Авогадро) и занимает в газообразном состоянии объем $v_{0} = 22,4 л = 22400 см^{3}$. Следовательно, в $1 см^{3}$ газообразного воздуха содержится $n_{в}$ «молекул»:
$n_{в} = \frac{A}{v_{0} } = 2,7 \cdot 10^{19} см^{-3}$.
Плотность газообразного и жидкого воздуха равна соответственно
$\rho_{в} = mn_{в}$ и $\rho_{ж} = mn_{ж}$,
где $m$ - масса «молекулы» воздуха, а $n_{ж}$ - число «молекул» в $1 см^{3}$ жидкого воздуха, поэтому
$\frac{ \rho_{ж} }{ \rho_{в} } = \frac{n_{ж} }{n_{в} }$ и $n_{ж} = \frac{ \rho_{ж} }{ \rho_{в}} = 2,7 \cdot 10^{22} см^{-3}$.
б) Зная плотность воздуха, вычисляем массу «молекулы» воздуха
$m = \frac{ \rho_{в} }{n_{в} } = 3,7 \cdot 10^{-23} г$.
в) Представим себе молекулу воздуха в виде твердого шарика с радиусом $r$. Ясно, что молекулы столкнутся, если их центры подойдут на расстояние, меньшее или равное $2r$. За единицу времени молекула пролетает путь, равный ее средней скорости $v$. При этом она сталкивается со всеми молекулами, центры которых окажутся в «захватываемом» ею объеме $\pi (2r)^{2} v$, т. е. испытывает $4 \pi r^{2} n_{0} v$ столкновений ($n_{0}$ - число молекул в $1 см^{3}$ воздуха при нормальных условиях).
Считая для оценки, что между двумя последовательными столкновениями молекула проходит равные расстояния $\lambda$ (это и есть длина свободного пробега) и что все молекулы одинаковы, находим
$\lambda = \frac{v}{(2r)^{2} \pi v n_{0}} = \frac{1}{4 \pi r^{2} n_{0} }$.
Полагая $r \approx 10^{-8} см$, получаем $\lambda = 3,2 \cdot 10^{-5} см$. От давления зависит только число частиц в $1 см^{3}$, которое просто пропорционально давлению, так что можно написать $n = cp$ ($c$-коэффициент пропорциональности) и $\lambda = \frac{1}{4 \pi r^{2} cP}$, откуда $\lambda p = const$. Поэтому для длины свободного пробега молекулы при разных давлениях, но одинаковой температуре газа имеем
$\lambda_{0}p_{0} = \lambda_{1}p_{1}$.
Таким образом, давление, при котором длина свободного пробега составляет 1 м, равно
$p_{1} = \frac{ \lambda_{0} }{ \lambda_{1} } p_{0} = 3,2 \cdot 10^{-7} атм$.
При обычных условиях воздух имеет плотность около $0,001 г/см^{3}$, тогда как плотность жидкого воздуха примерно $1 г/см^{3}$.
а) Оцените число молекул в $1 см^{3}$ газообразного и жидкого воздуха.
б) Оцените массу «молекулы» воздуха.
в) Рассчитайте среднее расстояние, которое молекула воздуха проходит между двумя последовательными соударениями с другими молекулами при нормальном давлении и температуре. Это расстояние называется длиной свободного пробега.
г) Оцените давление, до которого необходимо откачать вакуумную систему, чтобы длина свободного пробега в ней равнялась 1 м.
Решение:
а) Известно, что при нормальных условиях грамм-молекула любого вещества содержит $A$ молекул ($A = 6,02 \cdot 10^{23}$ - число Авогадро) и занимает в газообразном состоянии объем $v_{0} = 22,4 л = 22400 см^{3}$. Следовательно, в $1 см^{3}$ газообразного воздуха содержится $n_{в}$ «молекул»:
$n_{в} = \frac{A}{v_{0} } = 2,7 \cdot 10^{19} см^{-3}$.
Плотность газообразного и жидкого воздуха равна соответственно
$\rho_{в} = mn_{в}$ и $\rho_{ж} = mn_{ж}$,
где $m$ - масса «молекулы» воздуха, а $n_{ж}$ - число «молекул» в $1 см^{3}$ жидкого воздуха, поэтому
$\frac{ \rho_{ж} }{ \rho_{в} } = \frac{n_{ж} }{n_{в} }$ и $n_{ж} = \frac{ \rho_{ж} }{ \rho_{в}} = 2,7 \cdot 10^{22} см^{-3}$.
б) Зная плотность воздуха, вычисляем массу «молекулы» воздуха
$m = \frac{ \rho_{в} }{n_{в} } = 3,7 \cdot 10^{-23} г$.
в) Представим себе молекулу воздуха в виде твердого шарика с радиусом $r$. Ясно, что молекулы столкнутся, если их центры подойдут на расстояние, меньшее или равное $2r$. За единицу времени молекула пролетает путь, равный ее средней скорости $v$. При этом она сталкивается со всеми молекулами, центры которых окажутся в «захватываемом» ею объеме $\pi (2r)^{2} v$, т. е. испытывает $4 \pi r^{2} n_{0} v$ столкновений ($n_{0}$ - число молекул в $1 см^{3}$ воздуха при нормальных условиях).
Считая для оценки, что между двумя последовательными столкновениями молекула проходит равные расстояния $\lambda$ (это и есть длина свободного пробега) и что все молекулы одинаковы, находим
$\lambda = \frac{v}{(2r)^{2} \pi v n_{0}} = \frac{1}{4 \pi r^{2} n_{0} }$.
Полагая $r \approx 10^{-8} см$, получаем $\lambda = 3,2 \cdot 10^{-5} см$. От давления зависит только число частиц в $1 см^{3}$, которое просто пропорционально давлению, так что можно написать $n = cp$ ($c$-коэффициент пропорциональности) и $\lambda = \frac{1}{4 \pi r^{2} cP}$, откуда $\lambda p = const$. Поэтому для длины свободного пробега молекулы при разных давлениях, но одинаковой температуре газа имеем
$\lambda_{0}p_{0} = \lambda_{1}p_{1}$.
Таким образом, давление, при котором длина свободного пробега составляет 1 м, равно
$p_{1} = \frac{ \lambda_{0} }{ \lambda_{1} } p_{0} = 3,2 \cdot 10^{-7} атм$.
