Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10614
2019-05-21 
Оцените, какими должны быть размеры металлических пылинок в Солнечной системе, чтобы солнечное световое давление сообщило бы им скорость, направленную от Солнца? Светимость Солнца $L = 4 \cdot 10^{33} эрг/с$, его масса $M = 2 \cdot 10^{33} г$, гравитационная постоянная $\gamma = 6,67 \cdot 10^{-8} дин \cdot см^{2}/г^{2}$.
Решение:
Пусть пылинка находится на расстоянии $R$ от Солнца. Сила светового давления зависит, очевидно, от потока света $q = \frac{L}{4 \pi r^{2}} эрг / см^{2} \cdot сек$; площади поперечного сечения пылинки $\sim \pi r^{2}$ (для простоты мы считаем ее сферической). Если пылинка далеко от Солнца, то естественно считать световые лучи, падающие на нее, параллельными. Кроме $q$ и $\pi r^{2}$, в выражение, определяющее силу светового давления $F_{c}$, может входить только скорость света $c = 3 \cdot 10^{10} см/сек$. Нетрудно догадаться или получить из соображений размерности простую формулу: $F \sim \frac{q \pi r^{2}}{c}$. Численный коэффициент в этой формуле зависит от степени зеркальности поверхности и от отношения длины волны света к размеру частицы. Если длина волны света того же порядка, что и размер частиц, то неизвестный численный коэффициент можно считать числом порядка единицы. Мы убедимся ниже, что размеры улетающих от Солнца пылинок и в самом деле не очень сильно отличаются от длин волн видимого света. Кроме силы светового давления, на пылинку действует, конечно, сила ее притяжения к Солнцу: $F_{g} = \frac{ \gamma mM}{R^{2}}, m$ - здесь масса пылинки. Отношение двух сил, действующих на пылинку, равно
$\frac{F_{c}}{F_{g} } \sim \frac{q \pi r^{2}R^{2} }{c \gamma mM} = \frac{L \pi r^{2}R^{2} }{4 \pi R^{2} c \gamma mM } = \frac{Lr^{2} }{4 c \gamma mM} \sim \frac{L}{16} \frac{1}{c \gamma M} \frac{1}{ \rho r}$.
Мы учли здесь, что $m = \rho \frac{4}{3} \pi r^{3} \sim 4r^{3} \rho ; \rho$ - плотность вещества пылинки. Если отношение $(F_{c}/F_{g}) > 1$, пылинка будет двигаться по направлению от Солнца. Это условие можно записать так: $r < \frac{L}{16} \frac{1}{c \gamma M} \frac{1}{ \rho}$.
Осталось подставить известные численные значения. Для оценок мы будем считать плотность $\rho \sim 10 г/см^{3}$. В результате получится $r_{max} \leq 10^{-5} см$. Напомним, наконец, что длины волн видимого света - это величины порядка нескольких тысяч ангстрем, то есть $\sim (3 \div 5)10^{-5} см$. Отличие длин волн видимого света от размеров пылинок и в самом деле не слишком уж велико. Мы делаем оценки только по порядку величины и отличие в несколько раз (или даже в 10 раз) не должно считаться большим для таких оценок.
Оцените, какими должны быть размеры металлических пылинок в Солнечной системе, чтобы солнечное световое давление сообщило бы им скорость, направленную от Солнца? Светимость Солнца $L = 4 \cdot 10^{33} эрг/с$, его масса $M = 2 \cdot 10^{33} г$, гравитационная постоянная $\gamma = 6,67 \cdot 10^{-8} дин \cdot см^{2}/г^{2}$.
Решение:
Пусть пылинка находится на расстоянии $R$ от Солнца. Сила светового давления зависит, очевидно, от потока света $q = \frac{L}{4 \pi r^{2}} эрг / см^{2} \cdot сек$; площади поперечного сечения пылинки $\sim \pi r^{2}$ (для простоты мы считаем ее сферической). Если пылинка далеко от Солнца, то естественно считать световые лучи, падающие на нее, параллельными. Кроме $q$ и $\pi r^{2}$, в выражение, определяющее силу светового давления $F_{c}$, может входить только скорость света $c = 3 \cdot 10^{10} см/сек$. Нетрудно догадаться или получить из соображений размерности простую формулу: $F \sim \frac{q \pi r^{2}}{c}$. Численный коэффициент в этой формуле зависит от степени зеркальности поверхности и от отношения длины волны света к размеру частицы. Если длина волны света того же порядка, что и размер частиц, то неизвестный численный коэффициент можно считать числом порядка единицы. Мы убедимся ниже, что размеры улетающих от Солнца пылинок и в самом деле не очень сильно отличаются от длин волн видимого света. Кроме силы светового давления, на пылинку действует, конечно, сила ее притяжения к Солнцу: $F_{g} = \frac{ \gamma mM}{R^{2}}, m$ - здесь масса пылинки. Отношение двух сил, действующих на пылинку, равно
$\frac{F_{c}}{F_{g} } \sim \frac{q \pi r^{2}R^{2} }{c \gamma mM} = \frac{L \pi r^{2}R^{2} }{4 \pi R^{2} c \gamma mM } = \frac{Lr^{2} }{4 c \gamma mM} \sim \frac{L}{16} \frac{1}{c \gamma M} \frac{1}{ \rho r}$.
Мы учли здесь, что $m = \rho \frac{4}{3} \pi r^{3} \sim 4r^{3} \rho ; \rho$ - плотность вещества пылинки. Если отношение $(F_{c}/F_{g}) > 1$, пылинка будет двигаться по направлению от Солнца. Это условие можно записать так: $r < \frac{L}{16} \frac{1}{c \gamma M} \frac{1}{ \rho}$.
Осталось подставить известные численные значения. Для оценок мы будем считать плотность $\rho \sim 10 г/см^{3}$. В результате получится $r_{max} \leq 10^{-5} см$. Напомним, наконец, что длины волн видимого света - это величины порядка нескольких тысяч ангстрем, то есть $\sim (3 \div 5)10^{-5} см$. Отличие длин волн видимого света от размеров пылинок и в самом деле не слишком уж велико. Мы делаем оценки только по порядку величины и отличие в несколько раз (или даже в 10 раз) не должно считаться большим для таких оценок.
