2016-09-18
Очень лёгкая жёсткая квадратная пластинка подвешена в горизонтальном положении на четырёх одинаковых вертикальных нитях, прикреплённых к её углам. Найдите и нарисуйте ту область пластинки, куда можно положить точечный груз таким образом, чтобы все четыре нити в положении равновесия оказались натянутыми. Нити считать упругими, но очень слабо растяжимыми.
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
Введём прямоугольную у систему координат с началом в одном из углов пластинки и направим координатные оси $X$ и $Y$ вдоль её сторон. Нарисуем вид пластинки сверху (см. рис. 1) и обозначим через $N_{1}, N_{2}, N_{3}$ и $N_{4}$ силы натяжения нитей, $L$ — длину стороны пластинки, $m$ — массу груза.
Пусть груз находится в точке с координатами $(x,у)$. Запишем условия равновесия пластинки. Первое уравнение представляет собой условие равенства нулю суммы всех сил, действующих на пластинку:
$N_{1} + N_{2} + N_{3} + N_{4} = mg$. (1)
Далее, сумма моментов всех сил относительно осей, параллельных осям координат и проходящих через точку, в которой находится груз, также должна быть равна
нулю. Отсюда имеем ещё два уравнения:
$(N_{1} + N_{4})y = (N_{2} + N_{3})(L-y)$, (2)
$(N_{1} + N_{2})x = (N_{3} + N_{4})(L-x)$. (3)
Полученная система уравнений неполна. Для того, чтобы получить ещё одно уравнение, нужно найти, как связаны друг с другом величины малых деформаций нитей, возникших после того, как на пластинку положили тело. Пусть первая нить деформировалась на величину $\Delta l_{1}$, а три остальные — на величины $\Delta l_{2}, \Delta l_{3}$ и $\Delta l_{4}$ соответственно. Тогда центр пластинки сместился на некоторую величину $h$, которая равна
$h = \frac{1}{2} (\Delta l_{1} + \Delta l_{3}) = \frac{1}{2} ( \Delta l_{2} + \Delta l_{4})$.
Поскольку $N_{i} \sim \Delta l_{i}$ и все нити одинаковы, то из последнего соотношения получаем недостающее уравнение:
$N_{1} + N_{3} = N_{2} + N_{4}$. (4)
Решим полученную систему. Из уравнений (1) и (4) следует, что
$N_{1} + N_{3} = N_{2} + N_{4} = \frac{mg}{2}$. (5)
Преобразовывая уравнения (2) и (3) с учётом (1), получаем:
$(N_{1} + N_{2} + N_{3} + N_{4})y = mgy = (N_{2} + N_{3})L$,
$(N_{1} + N_{2} + N_{3} + N_{4})x = mgx = (N_{3} + N_{4})L$.
Складывая их, с учётом (5) имеем
$mg(x + y) = (N_{2} + 2N_{3} + N_{4})L = \left ( \frac{mg}{2} + 2 N_{3} \right ) L$,
откуда
$N_{3} = \frac{mg}{2} \left ( \frac{x+y}{L} - \frac{1}{2} \right )$.
Так как по условию все нити натянуты, то $N_{3} > 0$, то есть $y > \frac{L}{2} - x$. Область пластинки, удовлетворяющая этому условию, изображена на рисунке 2. Таким образом, для того, чтобы третья нить была натянута, груз должен лежать в заштрихованной части пластинки. Поскольку все нити одинаковы и пластинка квадратная, то из соображений симметрии следует, что область, в которую можно положить точечный груз для того, чтобы все нити были натянуты, представляет собой квадрат с вершинами, находящимися в серединах сторон пластинки (заштрихован на рисунке 3).