Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10601
2019-05-21 
По проволоке, изогнутой в виде овала (рис.), протекает электрический ток. Найти отношение сил $F_{A}$ и $F_{B}$, растягивающих проволоку в точках А и В соответственно, если проволока находится в магнитном поле, перпендикулярном плоскости овала.
Решение:
Рассмотрим одну четверть овала - участок АВ (рис.). На этот участок действуют силы $\vec{F}_{A}$ и $\vec{F}_{B}$ со стороны других частей овала и сила $\vec{F}_{H}$ со стороны магнитного поля. Условия равновесия участка АВ есть $\vec{F}_{H} + \vec{F}_{A} + \vec{F}_{B} = 0$. Силу $\vec{F}_{H}$ можно представить как сумму сил, действующих на малые участки длиной $\Delta l_{i}: \vec{F}_{H} = \Delta \vec{F}_{1} + \Delta \vec{F}_{2} + \cdots$. Сила $\Delta \vec{F}_{i}$ пропорциональна магнитному полю $H$, току $I$, текущему по проволоке, длине $\Delta l_{i}$ участка и направлена перпендикулярно к направлению тока - для малого участка перпендикулярно к касательной, проведенной к центральной точке участка. Запишем теперь проекции силы $\Delta \vec{F}_{i}$ на направления векторов $\vec{F}_{A}$ и $\vec{F}_{B}$ (угол $\alpha_{i}$ - угол между вектором $\Delta \vec{F}_{i}$ и горизонталью на рис.):
$\Pi p_{A} ( \Delta \vec{F}_{i}) = kKI \Delta l_{i} \sin \alpha_{i}$;
$\Pi p_{B} ( \Delta \vec{F}_{i}) = kHI \Delta l_{i} \cos \alpha_{i}$.
Остается переписать условие равновесия в проекциях на направления $\vec{F}_{A}$ и $\vec{F}_{B}$:
$F_{A} = kHI \sum_{i} \Delta l_{i} \sin \alpha_{i} = kHI \frac{b}{2}$;
$F_{B} = kHI \sum_{i} \Delta l_{i} \cos \alpha_{i} = kHI \frac{a}{2}$.
Отсюда следует, что искомое отношение $\frac{F_{A}}{F_{B}} = \frac{b}{a}$.
Приведем еще одно решение этой задачи, которое кажется очень поучительным. Рассмотрим моменты сил, действующих на овал, относительно его центра - точки О. Проведем для этого симметричные линии MN и PQ. Из рис. видно, что моменты сил, обусловленных магнитным полем, в точности компенсируются: пара сил в точках М и N создает момент, направленный по часовой стрелке, а пара сил в точках Р и Q - точно такой же момент, но против часовой стрелки. Если из овала вырезать его четверть, то надо приложить к точкам А и В силы точно такие же, какие на эти точки действовали в «неразрезанном» овале. При этом условии участок АВ останется в равновесии. Условие отсутствия вращения вокруг точки О означает равенство моментов: $F_{A}a = F_{B}b$ то есть мы получили то же самое, что в предыдущем решении просто из условий симметрии и равновесия без всяких вычислений.
По проволоке, изогнутой в виде овала (рис.), протекает электрический ток. Найти отношение сил $F_{A}$ и $F_{B}$, растягивающих проволоку в точках А и В соответственно, если проволока находится в магнитном поле, перпендикулярном плоскости овала.
Решение:
Рассмотрим одну четверть овала - участок АВ (рис.). На этот участок действуют силы $\vec{F}_{A}$ и $\vec{F}_{B}$ со стороны других частей овала и сила $\vec{F}_{H}$ со стороны магнитного поля. Условия равновесия участка АВ есть $\vec{F}_{H} + \vec{F}_{A} + \vec{F}_{B} = 0$. Силу $\vec{F}_{H}$ можно представить как сумму сил, действующих на малые участки длиной $\Delta l_{i}: \vec{F}_{H} = \Delta \vec{F}_{1} + \Delta \vec{F}_{2} + \cdots$. Сила $\Delta \vec{F}_{i}$ пропорциональна магнитному полю $H$, току $I$, текущему по проволоке, длине $\Delta l_{i}$ участка и направлена перпендикулярно к направлению тока - для малого участка перпендикулярно к касательной, проведенной к центральной точке участка. Запишем теперь проекции силы $\Delta \vec{F}_{i}$ на направления векторов $\vec{F}_{A}$ и $\vec{F}_{B}$ (угол $\alpha_{i}$ - угол между вектором $\Delta \vec{F}_{i}$ и горизонталью на рис.):
$\Pi p_{A} ( \Delta \vec{F}_{i}) = kKI \Delta l_{i} \sin \alpha_{i}$;
$\Pi p_{B} ( \Delta \vec{F}_{i}) = kHI \Delta l_{i} \cos \alpha_{i}$.
Остается переписать условие равновесия в проекциях на направления $\vec{F}_{A}$ и $\vec{F}_{B}$:
$F_{A} = kHI \sum_{i} \Delta l_{i} \sin \alpha_{i} = kHI \frac{b}{2}$;
$F_{B} = kHI \sum_{i} \Delta l_{i} \cos \alpha_{i} = kHI \frac{a}{2}$.
Отсюда следует, что искомое отношение $\frac{F_{A}}{F_{B}} = \frac{b}{a}$.
Приведем еще одно решение этой задачи, которое кажется очень поучительным. Рассмотрим моменты сил, действующих на овал, относительно его центра - точки О. Проведем для этого симметричные линии MN и PQ. Из рис. видно, что моменты сил, обусловленных магнитным полем, в точности компенсируются: пара сил в точках М и N создает момент, направленный по часовой стрелке, а пара сил в точках Р и Q - точно такой же момент, но против часовой стрелки. Если из овала вырезать его четверть, то надо приложить к точкам А и В силы точно такие же, какие на эти точки действовали в «неразрезанном» овале. При этом условии участок АВ останется в равновесии. Условие отсутствия вращения вокруг точки О означает равенство моментов: $F_{A}a = F_{B}b$ то есть мы получили то же самое, что в предыдущем решении просто из условий симметрии и равновесия без всяких вычислений.
