Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10599
2019-05-21 
Предположим, что молния распространяется по цилиндрическому каналу. На что тратится энергия молнии? Если считать, что существенная часть этой энергии идет на расширение канала молнии, то по какому закону будет изменяться давление цилиндрической ударной волны?
Решение:
Очевидно, что энергия, приходящаяся на единицу длины цилиндрического канала молнии, тратится на диссоциацию молекул воздуха, на ионизацию атомов (отрыв внешних электронов), на увеличение кинетической энергии частиц в канале молнии, на расширение канала, а также на излучение. Если предположить, что радиус цилиндрического канала $r$ меняется со временем $t$ и в зависимости от величины энергии $W$, приходящейся на единицу длины, то из соображений размерности можно попытаться построить формулу, связывающую $r, W, t$ и $\rho$ ($\rho$ - плотность воздуха). Запишем $r \sim W^{x}t^{y} \rho^{z}$ размерность $W$ есть эрг/см. Сравнение размерностей правой и левой частей приводит к системе уравнений: $x - 3z = 1; x + z = 0; -2x + y = 0$; откуда $x =1/4; y =1/2; z = - 1/4$. Канал молнии расширяется, следовательно, по закону $r \sim \left ( \frac{W}{p} \right )^{1/4} t^{1/2}$.
Этот закон справедлив, конечно, только если энергия $W$ много больше энергии молекул воздуха в столбике цилиндрического канала с единичной высотой (этой энергией мы пренебрегаем по сравнению с $W$). Скорость радиального расширения канала для молнии должна быть не меньше скорости распространения энергии вдоль оси, в противном случае энергия будет уноситься вдоль канала и не будет фактически идти на увеличение радиуса канала. С этим обстоятельством связан тот факт, что иногда молния не доходит до земли - ее энергия, «выйдя из облака», «рассасывается» в радиальном направлении быстрее, чем «доходит до земли». Скорость радиального расширения канала и давление на фронте ударной волны могут быть также получены из соображений размерности: $v \sim \left ( \frac{W}{ \rho} \right )^{1/4}t^{-1/2}; p \sim (W \rho)^{1/2}t^{-1}$.
Проверьте теперь, что $W \sim pr^{2}$. Какой физический смысл этого соотношения? Численные коэффициенты в написанных формулах из соображений размерности найти, конечно, нельзя, но все качественные зависимости получаются однозначно. Заметим еще, что если все численные коэффициенты считать числами порядка единицы (см. по этому поводу статью Ю. М. Брука и А. Л. Стасенко «Как физики делают оценки» в книге «О современной физике- учителю». М., «Знание», 1975), то существование цилиндрической ударной волны ограничено условием: $v \geq s, s$ - скорость звука в воздухе. Нетрудно проверить, что соотношение $v \sim s$ эквивалентно такому: $p \sim \rho s^{2} \sim p_{0}, p_{0}$ - здесь давление в невозмущенном воздухе. Другими словами, ударная волна затухает на тех же расстояниях, на которых ее давление сравнивается с давлением невозмущенной окружающей среды.
Предположим, что молния распространяется по цилиндрическому каналу. На что тратится энергия молнии? Если считать, что существенная часть этой энергии идет на расширение канала молнии, то по какому закону будет изменяться давление цилиндрической ударной волны?
Решение:
Очевидно, что энергия, приходящаяся на единицу длины цилиндрического канала молнии, тратится на диссоциацию молекул воздуха, на ионизацию атомов (отрыв внешних электронов), на увеличение кинетической энергии частиц в канале молнии, на расширение канала, а также на излучение. Если предположить, что радиус цилиндрического канала $r$ меняется со временем $t$ и в зависимости от величины энергии $W$, приходящейся на единицу длины, то из соображений размерности можно попытаться построить формулу, связывающую $r, W, t$ и $\rho$ ($\rho$ - плотность воздуха). Запишем $r \sim W^{x}t^{y} \rho^{z}$ размерность $W$ есть эрг/см. Сравнение размерностей правой и левой частей приводит к системе уравнений: $x - 3z = 1; x + z = 0; -2x + y = 0$; откуда $x =1/4; y =1/2; z = - 1/4$. Канал молнии расширяется, следовательно, по закону $r \sim \left ( \frac{W}{p} \right )^{1/4} t^{1/2}$.
Этот закон справедлив, конечно, только если энергия $W$ много больше энергии молекул воздуха в столбике цилиндрического канала с единичной высотой (этой энергией мы пренебрегаем по сравнению с $W$). Скорость радиального расширения канала для молнии должна быть не меньше скорости распространения энергии вдоль оси, в противном случае энергия будет уноситься вдоль канала и не будет фактически идти на увеличение радиуса канала. С этим обстоятельством связан тот факт, что иногда молния не доходит до земли - ее энергия, «выйдя из облака», «рассасывается» в радиальном направлении быстрее, чем «доходит до земли». Скорость радиального расширения канала и давление на фронте ударной волны могут быть также получены из соображений размерности: $v \sim \left ( \frac{W}{ \rho} \right )^{1/4}t^{-1/2}; p \sim (W \rho)^{1/2}t^{-1}$.
Проверьте теперь, что $W \sim pr^{2}$. Какой физический смысл этого соотношения? Численные коэффициенты в написанных формулах из соображений размерности найти, конечно, нельзя, но все качественные зависимости получаются однозначно. Заметим еще, что если все численные коэффициенты считать числами порядка единицы (см. по этому поводу статью Ю. М. Брука и А. Л. Стасенко «Как физики делают оценки» в книге «О современной физике- учителю». М., «Знание», 1975), то существование цилиндрической ударной волны ограничено условием: $v \geq s, s$ - скорость звука в воздухе. Нетрудно проверить, что соотношение $v \sim s$ эквивалентно такому: $p \sim \rho s^{2} \sim p_{0}, p_{0}$ - здесь давление в невозмущенном воздухе. Другими словами, ударная волна затухает на тех же расстояниях, на которых ее давление сравнивается с давлением невозмущенной окружающей среды.
