Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10596
2019-05-21 
Оцените скорости электронов и давление электронного газа в металлах. Как эти величины зависят от плотности?
Решение:
Прежде всего заметим, что пользоваться формулами обычной кинетической теории газов $p = nkT; \frac{mv^{2} }{2} = \frac{3}{2} kT$ ($p$ - давление, $n$ - число частиц в $1 см^{3}$, $k$ - постоянная Больцмана, $T$ - температура, $m$ - масса частиц и $v$ - их скорость) для электронного газа в металле нельзя. Это видно уже из того, что при $T \rightarrow 0$ из написанных формул следует: $p \rightarrow 0, v \rightarrow 0$. Для электронов в металлах скорость и давление вовсе не стремятся к нулю с уменьшением температуры. Например, скорость свободных электронов (электронов проводимости) не слишком сильно отличается от скорости электронов на внешних атомных орбитах, а уж про эти последние никак не скажешь, что они зависят от температуры - они определяются ведь кулоновским взаимодействием с ядрами. Поэтому для оценки скоростей электронов и их давления в металле нужно использовать какие-то другие соображения. Мы уже сказали, что скорости свободных электронов в каком-то смысле «близки» к скоростям электронов, связанных с атомными ядрами. Можно думать поэтому, что и характеристики свободных электронов должны быть существенно квантовыми (само существование различных электронных орбит в атоме - типичный и принципиально квантовый эффект!). Естественно воспользоваться соображениями размерности для того, чтобы получить нужные нам соотношения. Во все квантовые формулы должна входить квантовая характеристика - постоянная Планка $\hbar$. Предположим, что скорость зависит, кроме $\hbar$ еще от массы электрона $m$ и концентрации $n$. Число частиц в $1 см^{3}$ и связано со средним расстоянием между частицами а простой формулой $n = a^{-3}$, поэтому вместо концентрации $n$ можно взять и среднее межчастичное расстояние $a$. При давление $p$ также предположим, что оно зависит от $h, m$ и $n$. Записывая формулы $v \sim \hbar^{x} m^{y}n^{z}$ и $p \sim \hbar^{ \alpha} m^{ \beta}n^{ \gamma}$, где $x, y, z, \alpha, \beta, \gamma$ - некоторые числа, и выписывая размерности обеих частей последних равенств, мы получим:
$см \cdot с^{-1} = г^{x} см^{2x} с^{-x} г^{y} см^{-3z}$;
$г \cdot см^{-1} \cdot с^{-2} = г^{ \alpha} см^{2 \alpha} с^{ - \alpha} г^{ -\beta} cм^{-3 \gamma}$.
Размерности правой и левой частей этих равенств должны быть одинаковы, из систем уравнений:
$x + y = 0; 2x - 3z = 1; - 1 = - x$;
и
$\alpha + \beta = 1; 2 \alpha - 3 \gamma = - 1; - \alpha = - 2$
мы найдем окончательно:
$x = 1; y = - 1; z = 1/3; v \sim \frac{ \hbar}{ma} \sim \frac{ \hbar n^{1/2} }{m}$;
$\alpha = 2; \beta = -1; \gamma = 5/3; p \sim \frac{ \hbar^{2} }{m} n^{5/3} $.
Заметьте теперь, что давление есть, по существу (по порядку величины, разумеется), произведение числа частиц в $1 см^{3}$ и энергии одной частицы $\sim mv^{2}$), другими словами, давление и плотность энергии есть пропорциональные величины. Заметим еще, что числовые коэффициенты, получаемые при более подробных вычислениях, оказываются для написанных формул числами порядка единицы. Считая, что от каждого атома «отодран» в среднем один электрон, мы найдем, что число электронов в $1 см^{3}$ равно числу атомных ядер в $1 см^{3}$, а последнее есть просто $n_{я} \approx ( \rho / m_{я}), \rho$ - плотность металла, $m_{я}$ - масса атомного ядра (примерно равная массе атома, массой всех электронов атома по сравнению с массой ядра при оценках нужно, конечно, пренебрегать). Мы рекомендуем читателям сравнить полученное значение электронного давления с модулями Юнга металлов. Необходимые численные значения возьмите из любого справочника. О чем говорит результат такого сравнения? Если подставить типичные для металлов численные значения $n$ в формулу $v \sim \frac{ \hbar }{m} n^{1/3}$, то легко убедиться и в том, что скорости $v \ll c, c$ - скорость света. Это означает, что электроны в металле подчиняются квантовой механике, но использовать для их описания релятивистские формулы (формулы теории относительности) не нужно, релятивистские формулы потребовались бы только в том случае, когда скорости $v$ стали бы порядка $c$.
Оцените скорости электронов и давление электронного газа в металлах. Как эти величины зависят от плотности?
Решение:
Прежде всего заметим, что пользоваться формулами обычной кинетической теории газов $p = nkT; \frac{mv^{2} }{2} = \frac{3}{2} kT$ ($p$ - давление, $n$ - число частиц в $1 см^{3}$, $k$ - постоянная Больцмана, $T$ - температура, $m$ - масса частиц и $v$ - их скорость) для электронного газа в металле нельзя. Это видно уже из того, что при $T \rightarrow 0$ из написанных формул следует: $p \rightarrow 0, v \rightarrow 0$. Для электронов в металлах скорость и давление вовсе не стремятся к нулю с уменьшением температуры. Например, скорость свободных электронов (электронов проводимости) не слишком сильно отличается от скорости электронов на внешних атомных орбитах, а уж про эти последние никак не скажешь, что они зависят от температуры - они определяются ведь кулоновским взаимодействием с ядрами. Поэтому для оценки скоростей электронов и их давления в металле нужно использовать какие-то другие соображения. Мы уже сказали, что скорости свободных электронов в каком-то смысле «близки» к скоростям электронов, связанных с атомными ядрами. Можно думать поэтому, что и характеристики свободных электронов должны быть существенно квантовыми (само существование различных электронных орбит в атоме - типичный и принципиально квантовый эффект!). Естественно воспользоваться соображениями размерности для того, чтобы получить нужные нам соотношения. Во все квантовые формулы должна входить квантовая характеристика - постоянная Планка $\hbar$. Предположим, что скорость зависит, кроме $\hbar$ еще от массы электрона $m$ и концентрации $n$. Число частиц в $1 см^{3}$ и связано со средним расстоянием между частицами а простой формулой $n = a^{-3}$, поэтому вместо концентрации $n$ можно взять и среднее межчастичное расстояние $a$. При давление $p$ также предположим, что оно зависит от $h, m$ и $n$. Записывая формулы $v \sim \hbar^{x} m^{y}n^{z}$ и $p \sim \hbar^{ \alpha} m^{ \beta}n^{ \gamma}$, где $x, y, z, \alpha, \beta, \gamma$ - некоторые числа, и выписывая размерности обеих частей последних равенств, мы получим:
$см \cdot с^{-1} = г^{x} см^{2x} с^{-x} г^{y} см^{-3z}$;
$г \cdot см^{-1} \cdot с^{-2} = г^{ \alpha} см^{2 \alpha} с^{ - \alpha} г^{ -\beta} cм^{-3 \gamma}$.
Размерности правой и левой частей этих равенств должны быть одинаковы, из систем уравнений:
$x + y = 0; 2x - 3z = 1; - 1 = - x$;
и
$\alpha + \beta = 1; 2 \alpha - 3 \gamma = - 1; - \alpha = - 2$
мы найдем окончательно:
$x = 1; y = - 1; z = 1/3; v \sim \frac{ \hbar}{ma} \sim \frac{ \hbar n^{1/2} }{m}$;
$\alpha = 2; \beta = -1; \gamma = 5/3; p \sim \frac{ \hbar^{2} }{m} n^{5/3} $.
Заметьте теперь, что давление есть, по существу (по порядку величины, разумеется), произведение числа частиц в $1 см^{3}$ и энергии одной частицы $\sim mv^{2}$), другими словами, давление и плотность энергии есть пропорциональные величины. Заметим еще, что числовые коэффициенты, получаемые при более подробных вычислениях, оказываются для написанных формул числами порядка единицы. Считая, что от каждого атома «отодран» в среднем один электрон, мы найдем, что число электронов в $1 см^{3}$ равно числу атомных ядер в $1 см^{3}$, а последнее есть просто $n_{я} \approx ( \rho / m_{я}), \rho$ - плотность металла, $m_{я}$ - масса атомного ядра (примерно равная массе атома, массой всех электронов атома по сравнению с массой ядра при оценках нужно, конечно, пренебрегать). Мы рекомендуем читателям сравнить полученное значение электронного давления с модулями Юнга металлов. Необходимые численные значения возьмите из любого справочника. О чем говорит результат такого сравнения? Если подставить типичные для металлов численные значения $n$ в формулу $v \sim \frac{ \hbar }{m} n^{1/3}$, то легко убедиться и в том, что скорости $v \ll c, c$ - скорость света. Это означает, что электроны в металле подчиняются квантовой механике, но использовать для их описания релятивистские формулы (формулы теории относительности) не нужно, релятивистские формулы потребовались бы только в том случае, когда скорости $v$ стали бы порядка $c$.
