Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1059
2016-09-18 
В вертикальную стену вбиты два гвоздя так, что они лежат на одной вертикальной прямой. Кусок однородной проволоки массой $m$ согнули в дугу в виде половины окружности и шарнирно прикрепили за один из концов к верхнему гвоздю А (см. рисунок). Дуга при этом опёрлась на нижний гвоздь В. Найдите величину силы, с которой проволока давит на верхний гвоздь, если известно, что в отсутствие нижнего гвоздя, когда проволока находится в равновесии, диаметр АС дуги составляет с вертикалью угол $\alpha_{0}$. Расстояние между гвоздями равно радиусу дуги. Трения нет.
Решение:
Обозначим радиус дуги через $R$, силы реакции, действующие на проволоку со стороны верхнего и нижнего гвоздей, через $N$ и $F$ соответственно, а расстояние $OD$ от центра окружности, частью которой является дуга, до центра масс проволочной фигуры через $h$ (см. рисунок).
Отметим, что центр масс фигуры лежит на оси её симметрии. Так как проволока гладкая, то сила $F$ направлена к центру указанной окружности. Введём координатные оси $X$ (горизонтальную) и $Y$ (вертикальную) и запишем условия равновесия проволоки:
$N_{x} = F \sin \beta$;
$N_{y} + F \cos \beta = mg$;
$FR \sin \beta = mg (R - h ctg \beta) \sin \beta$.
Здесь $N_{x}$ и $N_{y}$ — проекции силы $N$ на координатные оси, $\beta = \pi /3$ — угол между вертикалью и диаметром $AC$ при наличии нижнего гвоздя. При отсутствии нижнего гвоздя, когда проволока находится в положении равновесия, её центр масс лежит на вертикальной прямой, проходящей через верхний гвоздь. Следовательно, $h = R tg \alpha_{0}$. Решая с учётом этого полученную систему уравнений, имеем
$F = mg \left ( 1 - \frac{ tg \alpha_{0}}{ \sqrt{3}} \right )$,
$N_{x} = \frac{mg \sqrt{3}}{2} \left ( 1 - \frac{ tg \alpha_{0}}{ \sqrt{3}} \right )$,
$N_{y} = \frac{mg}{2} \left ( 1 + \frac{ tg \alpha_{0}}{ \sqrt{3}} \right )$.
Искомая сила $T$, с которой проволока давит на гвоздь, равна по величине силе $N$ и противоположна ей по направлению. Таким образом,
$T = N \sqrt{ N_{x}^{2} + N_{y}^{2}} = mg \sqrt{ 1 - \frac{tg \alpha_{0}}{ \sqrt{3}} + \frac{tg^{2} \alpha_{0}}{3} }$.
Заметим, что заданный в условии задачи угол $\alpha_{0}$ можно найти при помощи следующего приёма. Расположим проволочную дугу так, чтобы её концы лежали на одной вертикальной прямой, после чего повернём её на малый угол $\Delta \phi$ вокруг оси, проходящей перпендикулярно плоскости дуги через точку $O$. При этом потенциальная энергия дуги, с одной стороны, увеличится на $m \cdot \frac{ \Delta \phi}{ \pi} \cdot g \cdot 2R$, так как элемент проволоки массой $m \cdot \frac{ \Delta \phi}{ \pi}$ поднимется на высоту $2R$. С другой стороны, это же увеличение потенциальной энергии равно $mg \cdot h \Delta \phi$, так как центр масс дуги поднимется на высоту $h \Delta \phi$. Приравнивая эти выражения, получим, что $h = 2R/ \pi$, a $ tg \alpha_{0} = h/R = 2/ \pi$. Поэтому полученный выше ответ задачи можно не исследовать — содержащаяся под корнем величина заведомо положительна.
В вертикальную стену вбиты два гвоздя так, что они лежат на одной вертикальной прямой. Кусок однородной проволоки массой $m$ согнули в дугу в виде половины окружности и шарнирно прикрепили за один из концов к верхнему гвоздю А (см. рисунок). Дуга при этом опёрлась на нижний гвоздь В. Найдите величину силы, с которой проволока давит на верхний гвоздь, если известно, что в отсутствие нижнего гвоздя, когда проволока находится в равновесии, диаметр АС дуги составляет с вертикалью угол $\alpha_{0}$. Расстояние между гвоздями равно радиусу дуги. Трения нет.
Решение:
Обозначим радиус дуги через $R$, силы реакции, действующие на проволоку со стороны верхнего и нижнего гвоздей, через $N$ и $F$ соответственно, а расстояние $OD$ от центра окружности, частью которой является дуга, до центра масс проволочной фигуры через $h$ (см. рисунок).
Отметим, что центр масс фигуры лежит на оси её симметрии. Так как проволока гладкая, то сила $F$ направлена к центру указанной окружности. Введём координатные оси $X$ (горизонтальную) и $Y$ (вертикальную) и запишем условия равновесия проволоки:
$N_{x} = F \sin \beta$;
$N_{y} + F \cos \beta = mg$;
$FR \sin \beta = mg (R - h ctg \beta) \sin \beta$.
Здесь $N_{x}$ и $N_{y}$ — проекции силы $N$ на координатные оси, $\beta = \pi /3$ — угол между вертикалью и диаметром $AC$ при наличии нижнего гвоздя. При отсутствии нижнего гвоздя, когда проволока находится в положении равновесия, её центр масс лежит на вертикальной прямой, проходящей через верхний гвоздь. Следовательно, $h = R tg \alpha_{0}$. Решая с учётом этого полученную систему уравнений, имеем
$F = mg \left ( 1 - \frac{ tg \alpha_{0}}{ \sqrt{3}} \right )$,
$N_{x} = \frac{mg \sqrt{3}}{2} \left ( 1 - \frac{ tg \alpha_{0}}{ \sqrt{3}} \right )$,
$N_{y} = \frac{mg}{2} \left ( 1 + \frac{ tg \alpha_{0}}{ \sqrt{3}} \right )$.
Искомая сила $T$, с которой проволока давит на гвоздь, равна по величине силе $N$ и противоположна ей по направлению. Таким образом,
$T = N \sqrt{ N_{x}^{2} + N_{y}^{2}} = mg \sqrt{ 1 - \frac{tg \alpha_{0}}{ \sqrt{3}} + \frac{tg^{2} \alpha_{0}}{3} }$.
Заметим, что заданный в условии задачи угол $\alpha_{0}$ можно найти при помощи следующего приёма. Расположим проволочную дугу так, чтобы её концы лежали на одной вертикальной прямой, после чего повернём её на малый угол $\Delta \phi$ вокруг оси, проходящей перпендикулярно плоскости дуги через точку $O$. При этом потенциальная энергия дуги, с одной стороны, увеличится на $m \cdot \frac{ \Delta \phi}{ \pi} \cdot g \cdot 2R$, так как элемент проволоки массой $m \cdot \frac{ \Delta \phi}{ \pi}$ поднимется на высоту $2R$. С другой стороны, это же увеличение потенциальной энергии равно $mg \cdot h \Delta \phi$, так как центр масс дуги поднимется на высоту $h \Delta \phi$. Приравнивая эти выражения, получим, что $h = 2R/ \pi$, a $ tg \alpha_{0} = h/R = 2/ \pi$. Поэтому полученный выше ответ задачи можно не исследовать — содержащаяся под корнем величина заведомо положительна.
