Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10581
2019-05-21 
В кабине космического корабля имеется высокочастотная печь для исследования плавления в условиях невесомости. Хорошо проводящий тепло металлический шар нагревается в печи токами высокой частоты и начинает плавиться. Разработайте методику экспериментального определения времени полного расплавления шара. Для простоты считайте, что теплообмен шара с окружающей средой пропорционален разности их температур. Космонавт-исследователь имеет возможность наблюдать за плавлением визуально, может изменять подводимую к шару мощность и пользоваться необходимыми ему приборами и справочниками.
Решение:
Пусть в момент $t_{0} = 0$ космонавт включил высокочастотную печь, поместив предварительно в нее металлический шар. Высокая теплопроводность шара обеспечивает его быстрый прогрев. Температуру внутри шара можно считать не зависящей от его радиальной координаты. (Глубину скин - слоя считаем большой по сравнению с радиусом шара.) Температура вне шара отличается от температуры внутри, поверхность шара будет излучать. Пусть выделяющаяся внутри мощность равна $N$ и не зависит для простоты от температуры. Эта мощность обусловлена выделяющимся джоулевым теплом, последнее же зависит от сопротивления. Поэтому фактически мы предполагаем сейчас, что температурной зависимостью сопротивления можно пренебречь. Шар начнет плавиться с поверхности. Из-за того, что опыт проводится в условиях невесомости, образующаяся жидкая пленка будет покрывать шар и никуда не будет стекать. В конечном счете получится жидкая капля с радиусом, равным радиусу шара. Изменением объема при плавлении тоже можно пренебречь, оно невелико. Ясно также, что визуально можно наблюдать только за поверхностью капли, поэтому такие наблюдения ничего не скажут о том, расплавился ли уже весь шар или еще нет. Пусть температура снаружи равна $T_{0}$, а температура плавления - $T_{пл}$. Можно написать уравнение теплового баланса:
$Nt = C_{к} \rho_{к}V_{к} (T_{пл} - T_{0} ) + \lambda \alpha V_{к} \rho_{к} + W_{изл}$.
Здесь $t$ - время, $C_{к}$ и $\lambda$ - теплоемкость кристалла и удельная теплота плавления (в расчете на единицу массы), $\rho_{к}$ - плотность кристалла, $V_{к}$ - объем шара, $\alpha$ - доля расплавившегося к моменту $t$ объема, а $W_{изл}$ - излученная с поверхности энергия. Заметим теперь, что
$W_{изл} = W_{изл. 0} + 4 \pi R^{2} (T_{пл} - T_{0} ) \xi (t - t_{1})$;
$R$ - радиус шара, $\xi$ - некоторый коэффициент, а $W_{изл.0}$ тепло, излученное за время $t_{1}$ равное времени нагрева шара от $T_{0}$ до $T_{пл}$. Очевидно также, что
$Nt_{1} = C_{к} \rho_{к}V_{к} (T_{пл} - T_{0}) + W_{изл.0}$.
Это уравнение описывает нагрев шара от $T_{0}$ до $T_{пл}$ при $t < t_{1}$ плавления еще нет, а при $t > t_{1}$ оно уже есть. Из написанных уравнений теплового баланса следует, что
$[N - 4 \pi R^{2} \xi (T_{пл} - T_{0})] (t - t_{1}) = \lambda \alpha V_{к} \rho_{к}$.
Нас интересует время полного расплавления шара. Этому соответствует $\alpha = 1$. Величины $N, R, T_{пл}$ и $T_{0}$ космонавт может, вероятно, измерить. Параметры $\lambda$ и $\rho_{к}$ могут быть для известного металла взяты из таблиц. Время h замечается по часам, это то время после включения печи, когда на поверхности только что появилась жидкая пленка (придумайте, кстати, способы обнаружения такой плевки невизуальными методами!).Что касается коэффициента $\xi$, то его можно определить, например, так. Будем менять мощность высокочастотной печки. Добьемся при этом такого состояния, когда подводимая к шару и теряемая им мощности равны, в этом случае шар может иметь температуру $T_{пл}$, но еще не плавиться. Тогда из уравнения $4 \pi R^{2} \xi (T_{пл} - T_{0}) = N_{1}$ измеряемым величинам $N_{1}, T_{пл}, T_{0}$ и $R$ - найдем коэффициент $\xi$. Этот дополнительный опыт надо проводить на грани плавления: совсем малое увеличение $N_{1}$ должно вести к появлению жидкой пленки на поверхности шара.
В кабине космического корабля имеется высокочастотная печь для исследования плавления в условиях невесомости. Хорошо проводящий тепло металлический шар нагревается в печи токами высокой частоты и начинает плавиться. Разработайте методику экспериментального определения времени полного расплавления шара. Для простоты считайте, что теплообмен шара с окружающей средой пропорционален разности их температур. Космонавт-исследователь имеет возможность наблюдать за плавлением визуально, может изменять подводимую к шару мощность и пользоваться необходимыми ему приборами и справочниками.
Решение:
Пусть в момент $t_{0} = 0$ космонавт включил высокочастотную печь, поместив предварительно в нее металлический шар. Высокая теплопроводность шара обеспечивает его быстрый прогрев. Температуру внутри шара можно считать не зависящей от его радиальной координаты. (Глубину скин - слоя считаем большой по сравнению с радиусом шара.) Температура вне шара отличается от температуры внутри, поверхность шара будет излучать. Пусть выделяющаяся внутри мощность равна $N$ и не зависит для простоты от температуры. Эта мощность обусловлена выделяющимся джоулевым теплом, последнее же зависит от сопротивления. Поэтому фактически мы предполагаем сейчас, что температурной зависимостью сопротивления можно пренебречь. Шар начнет плавиться с поверхности. Из-за того, что опыт проводится в условиях невесомости, образующаяся жидкая пленка будет покрывать шар и никуда не будет стекать. В конечном счете получится жидкая капля с радиусом, равным радиусу шара. Изменением объема при плавлении тоже можно пренебречь, оно невелико. Ясно также, что визуально можно наблюдать только за поверхностью капли, поэтому такие наблюдения ничего не скажут о том, расплавился ли уже весь шар или еще нет. Пусть температура снаружи равна $T_{0}$, а температура плавления - $T_{пл}$. Можно написать уравнение теплового баланса:
$Nt = C_{к} \rho_{к}V_{к} (T_{пл} - T_{0} ) + \lambda \alpha V_{к} \rho_{к} + W_{изл}$.
Здесь $t$ - время, $C_{к}$ и $\lambda$ - теплоемкость кристалла и удельная теплота плавления (в расчете на единицу массы), $\rho_{к}$ - плотность кристалла, $V_{к}$ - объем шара, $\alpha$ - доля расплавившегося к моменту $t$ объема, а $W_{изл}$ - излученная с поверхности энергия. Заметим теперь, что
$W_{изл} = W_{изл. 0} + 4 \pi R^{2} (T_{пл} - T_{0} ) \xi (t - t_{1})$;
$R$ - радиус шара, $\xi$ - некоторый коэффициент, а $W_{изл.0}$ тепло, излученное за время $t_{1}$ равное времени нагрева шара от $T_{0}$ до $T_{пл}$. Очевидно также, что
$Nt_{1} = C_{к} \rho_{к}V_{к} (T_{пл} - T_{0}) + W_{изл.0}$.
Это уравнение описывает нагрев шара от $T_{0}$ до $T_{пл}$ при $t < t_{1}$ плавления еще нет, а при $t > t_{1}$ оно уже есть. Из написанных уравнений теплового баланса следует, что
$[N - 4 \pi R^{2} \xi (T_{пл} - T_{0})] (t - t_{1}) = \lambda \alpha V_{к} \rho_{к}$.
Нас интересует время полного расплавления шара. Этому соответствует $\alpha = 1$. Величины $N, R, T_{пл}$ и $T_{0}$ космонавт может, вероятно, измерить. Параметры $\lambda$ и $\rho_{к}$ могут быть для известного металла взяты из таблиц. Время h замечается по часам, это то время после включения печи, когда на поверхности только что появилась жидкая пленка (придумайте, кстати, способы обнаружения такой плевки невизуальными методами!).Что касается коэффициента $\xi$, то его можно определить, например, так. Будем менять мощность высокочастотной печки. Добьемся при этом такого состояния, когда подводимая к шару и теряемая им мощности равны, в этом случае шар может иметь температуру $T_{пл}$, но еще не плавиться. Тогда из уравнения $4 \pi R^{2} \xi (T_{пл} - T_{0}) = N_{1}$ измеряемым величинам $N_{1}, T_{пл}, T_{0}$ и $R$ - найдем коэффициент $\xi$. Этот дополнительный опыт надо проводить на грани плавления: совсем малое увеличение $N_{1}$ должно вести к появлению жидкой пленки на поверхности шара.
