2016-09-18
Некто повесил на гвоздь прямоугольную картину, прикрепив верёвку ниже центра тяжести, на расстоянии $d$, от него (см. рисунок). Длина верёвки $a$, высота картины $2l$. Под каким углом к стене она будет висеть? При каком соотношении между $d, a$ и $l$ картина не перевернётся? Трение о стену отсутствует, место прикрепления верёвки находится на оси симметрии картины.
Решение:
Будем считать, что картина является однородной и висит ровно, то есть касается стены нижней стороной. Обозначим искомый угол между картиной и стеной в положении равновесия через $\alpha_{0}$, угол между верёвкой и стеной — через $\beta_{0}$, силу натяжения верёвки при равновесии через $T$, а соответствующую силу реакции стены в точке $O$ — через $N$ (см. рис.). Запишем условия равновесия картины. Сумма проекций сил на горизонтальное и вертикальное направления должна быть равна нулю, откуда
$N = T \sin \beta_{0}, mg = T \cos \beta_{0}$.
Сумма моментов сил относительно точки $A$ также равна нулю:
$mgd \sin \alpha_{0} = N (l-d) \cos \alpha_{0}$.
Используя теорему синусов для треугольника $AOB$, имеем:
$a \sin \beta_{0} = (l - d) \sin \alpha_{0}$.
Прежде всего заметим, что у этой системы уравнений имеется простое решение:
$\alpha_{0} = \beta_{0} = 0$.
При этом $T = mg$ и $N = 0$, то есть картина висит вертикально.
Если считать, что $a \neq 0$, то из записанной системы уравнений следует, что $N = mg tg \beta_{0}$, и $tg \beta_{0} = \frac{d}{l-d} tg \alpha_{0}$. С учётом этого получаем второе решение:
$\sin^{2} \alpha_{0} = \frac{ \left ( \frac{a}{l-d} \right )^{2} - \left ( \frac{l-d}{d} \right )^{2}}{1 - \left ( \frac{l-d}{d} \right )^{2}}$. (1)
Исследуем полученные решения, то есть найдём, при каких соотношениях между $d, a$ и $l$ они реализуются. Для этого определим, как зависит потенциальная энергия $U$ картины от величины угла $\alpha$, который она составляет со стеной. Направим координатную ось $Y$ вверх и будем отсчитывать потенциальную энергию от положения, в котором находится центр масс картины при натянутой вертикально верёвке: $U( \alpha) =mgy( \alpha)$, где
$y( \alpha) = a(1 — \cos \beta) — d(l — \cos \alpha) = a — d + d \cos \alpha — \sqrt{a^{2} - (l-d)^{2} \sin^{2} \alpha}$. (2)
(здесь $\beta$ — угол между стеной и верёвкой тогда, когда картина образует со стеной угол $\alpha$).
Выясним, при каких условиях найденные выше значения ао соответствуют положению устойчивого равновесия. Для этого предположим, что картина сначала была прижата к стене при натянутой верёвке, то есть составляла со стеной угол $\alpha = 0$ и имела при этом потенциальную энергию $U(0) = 0$. Для того, чтобы положение равновесия, соответствующее $\alpha_{0} = 0$, было устойчивым, необходимо, чтобы при небольшом отклонении картины от вертикального положения её центр масс поднимался, что соответствует увеличению потенциальной энергии картины.
Пусть картина отклонилась от вертикального положения на небольшой угол $\Delta \alpha$. При этом высота её центра масс стала равна
$y( \Delta \alpha) = a — d + d \cos \Delta \alpha — \sqrt{a^{2} - (l-d)^{2} \sin^{2} \Delta \alpha}$.
Так как $\Delta \alpha \ll 1$, то $\sin \Delta \alpha \approx \Delta \alpha$, a $\cos \Delta \alpha \approx 1 — ( \Delta \alpha)^{2}/2$. С учётом этого изменение высоты центра масс картины
$\Delta y = y( \Delta \alpha) - y(0) \approx a - d + d \left ( 1 - \frac{ ( \Delta \alpha)^{2}}{2} \right ) - \sqrt{a^{2} - (l-d)^{2} ( \Delta \alpha)^{2}} = a - \frac{( \Delta \alpha)^{2} d}{2} - \sqrt{a^{2} - (l-d)^{2} ( \Delta \alpha)^{2}} > 0$.
Отсюда находим, что $ad — (l — d)^{2} < \left ( \frac{d \Delta \alpha}{2} \right )^{2}$. Так как $\Delta \alpha \rightarrow 0$, то из записанного неравенства следует ограничение на параметры задачи: $a < (l — d)^{2}/d$ при $\alpha_{0} = 0$.
Теперь рассмотрим случай $\alpha_{0} \neq 0$. При этом угол, соответствующий положению равновесия, выражается формулой (1). Это равновесие будет устойчивым в том случае, если при отклонении картины от вертикального положения на небольшой угол её потенциальная энергия убывает (центр масс опускается), то есть $\Delta y < 0$. Отсюда следует, что для устойчивости равновесия картины при $\alpha_{0} \neq 0$ должно выполняться условие: $a > (l — d)^{2}/d$. Кроме того, в этом случае выражение, содержащееся под корнем в формуле (2), должно быть неотрицательным: $a^{2} — (l — d)^{2} \sin^{2} \alpha \geq 0$, откуда $\sin \alpha \leq \frac{a}{l-d} < 1$ (картина не может находиться в равновесии, располагаясь перпендикулярно стене). Отсюда получаем дополнительное ограничение на параметры задачи: $a < (l - d)$.
Таким образом, положение равновесия, соответствующее углу $\alpha_{0} \neq 0$, будет устойчивым при $(l—d)^{2}/d < a < (l—d)$. Именно при выполнении этих условий картина не перевернётся. Из полученных условий следует, что точка крепления верёвки к картине должна находиться на расстоянии $d > l/2$ ниже её центра масс. Легко проверить, что при указанных условиях $0 < \sin^{2} \alpha_{0} < 1$, как это и должно быть.
Заметим, что формулу (1) для $\alpha_{0}$ можно получить и непосредственно из выражения для $U( \alpha)$, найдя при помощи дифференцирования экстремум этой функции, а затем выяснив, при каких условиях он является минимумом.