Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10577
2019-05-21 
Два мыльных пузыря радиусов $r_{1}$ и $r_{2}$ сливаются в один пузырь радиуса $R$. Определите атмосферное давление, если коэффициент поверхностного натяжения мыльной пленки равен $\sigma$.
Решение:
Обычная формула для разности давлений внутри и вне сферической капли имеет вид: $\Delta p = \frac{2 \sigma }{r}$. В случае мыльного пузыря, однако, разность давлений вдвое больше: $\Delta p = \frac{4 \sigma}{r}$. Это связано с тем, что оболочка пузыря имеет наружную и внутреннюю поверхности, фактически мыльный пузырь - есть пленка с удвоенным поверхностным натяжением. Запишем теперь очевидные соотношения:
$p_{1} - p_{0} = \frac{4 \sigma}{r_{1} }; p_{2} - p_{0} = \frac{4 \sigma }{r_{2} }; p - p_{0} = \frac{4 \sigma}{R}$.
Для газа внутри каждого пузыря справедлив закон Менделеева-Клапейрона. ($R$ - газовая постоянная):
$p_{1} \frac{4}{3} \pi r_{1}^{3} = \frac{m_{1} }{ \mu} \tilde{R} T; p_{2} \frac{4}{3} \pi r_{2}^{2} = \frac{m_{2} }{ \mu} \tilde{R}T$;
$p \frac{4}{3} \pi R^{3} = \frac{m_{1} + m_{2} }{ \mu} \tilde{R}T$.
Мы использовали здесь тот факт, что при слиянии пузырей суммарная масса газа в них не изменилась. Отсюда вытекает, что
$pR^{3} = p_{1}r_{1}^{3} + p_{2}r_{2}^{3}$,
или $\left (p_{0} + \frac{4 \sigma }{R} \right ) R^{3} = \left ( p_{0} + \frac{4 \sigma}{r_{1} } \right ) r_{1}^{3} + \left ( p_{0} + \frac{4 \sigma }{r_[2 } \right ) r_{2}^{3}$.
Атмосферное давление $p_{0}$ равно поэтому:
$p_{0} = \frac{4 \sigma (r_{1}^{2} + r_{2}^{2} - R^{2} ) }{(R^{3} - r_{1}^{3} - r_{2}^{3} )}$.
Два мыльных пузыря радиусов $r_{1}$ и $r_{2}$ сливаются в один пузырь радиуса $R$. Определите атмосферное давление, если коэффициент поверхностного натяжения мыльной пленки равен $\sigma$.
Решение:
Обычная формула для разности давлений внутри и вне сферической капли имеет вид: $\Delta p = \frac{2 \sigma }{r}$. В случае мыльного пузыря, однако, разность давлений вдвое больше: $\Delta p = \frac{4 \sigma}{r}$. Это связано с тем, что оболочка пузыря имеет наружную и внутреннюю поверхности, фактически мыльный пузырь - есть пленка с удвоенным поверхностным натяжением. Запишем теперь очевидные соотношения:
$p_{1} - p_{0} = \frac{4 \sigma}{r_{1} }; p_{2} - p_{0} = \frac{4 \sigma }{r_{2} }; p - p_{0} = \frac{4 \sigma}{R}$.
Для газа внутри каждого пузыря справедлив закон Менделеева-Клапейрона. ($R$ - газовая постоянная):
$p_{1} \frac{4}{3} \pi r_{1}^{3} = \frac{m_{1} }{ \mu} \tilde{R} T; p_{2} \frac{4}{3} \pi r_{2}^{2} = \frac{m_{2} }{ \mu} \tilde{R}T$;
$p \frac{4}{3} \pi R^{3} = \frac{m_{1} + m_{2} }{ \mu} \tilde{R}T$.
Мы использовали здесь тот факт, что при слиянии пузырей суммарная масса газа в них не изменилась. Отсюда вытекает, что
$pR^{3} = p_{1}r_{1}^{3} + p_{2}r_{2}^{3}$,
или $\left (p_{0} + \frac{4 \sigma }{R} \right ) R^{3} = \left ( p_{0} + \frac{4 \sigma}{r_{1} } \right ) r_{1}^{3} + \left ( p_{0} + \frac{4 \sigma }{r_[2 } \right ) r_{2}^{3}$.
Атмосферное давление $p_{0}$ равно поэтому:
$p_{0} = \frac{4 \sigma (r_{1}^{2} + r_{2}^{2} - R^{2} ) }{(R^{3} - r_{1}^{3} - r_{2}^{3} )}$.
