Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10548
2019-05-21 
Оцените минимальное значение радиуса не слишком большой твердой планеты, не имеющей жидкого ядра, если средний модуль Юнга вещества планеты равен $E$, а ее масса равна $M$.
Решение:
Для того, чтобы могла существовать полностью «твердотельная» планета, нужно, чтобы гравитационное давление в центре ее (там оно максимально) «не раздарило» бы твердое тело. Другими словами, гравитационное давление не должно превышать модуль Юнга. Модуль Юнга меняется, конечно, по мере продвижения в глубь планеты. Однако для не слишком больших планет эти изменения не очень велики - по порядку величины модуль Юнга в глубине примерно таков же, как и вблизи поверхности. Например, для кристаллических планет с массой и радиусом такими же, как у Земли, модуль Юнга меняется всего в несколько раз и во всяком случае не на порядок. Если бы плотность вещества была постоянна вдоль радиуса планеты, модуль Юнга вообще не менялся бы. (Заметьте, кстати, что плотность у поверхности и в центре Земли отличается примерно в три раза, но не на порядок!) Гравитационное давление в центре планеты можно грубо оценить, используя соображения размерности: $p_{c} \sim \frac{ \gamma M^{2}}{R^{4}}$, $\gamma$ - гравитационная постоянная, $R$ - радиус планеты. Можно посмотреть на эту формулу и с другой точки зрения: величина $\frac{ \gamma M^{2}}{R}$ - есть гравитационная энергия планеты, поделив ее на объем планеты $\sim R^{3}$, мы получаем плотность гравитационной энергии $\sim \frac{ \gamma M^{2}}{R^{4}}$. Размерность плотности энергии такова же, как и размерность давления. Поэтому можно «надеяться», что они просто пропорциональны друг другу. Разумеется, мы не можем с помощью таких рассуждений найти численные коэффициенты в написанных формулах. Можно допустить, что для грубых оценок мы можем «забыть» о численных коэффициентах и считать, что по порядку величины давление в центре равно $\frac{ \gamma M^{2}}{R^{4}}$. Другими словами, мы считаем недостающие численные коэффициенты числами порядка единицы. При этом предположении мы можем написать приближенное неравенство, устанавливающее связь массы и радиуса для полностью «твердотельной» планеты: $E \geq \frac{ \gamma M^{2}}{R^{4}}$, или $R^{4} \geq \frac{ \gamma M^{2} }{E}$. По порядку величины минимальный радиус есть $R_{min} \sim \left ( \frac{ \gamma M^{2}}{E} \right )^{2/4}$. Разумеется, мы должны предположить еще, что планета холодная - температура ее недр должна быть много меньше характерной температуры плавления вещества, из которого эта планета и0 строена. Понять связь плотности энергии и давления могает еще такая аналогия. Пусть у нас есть плоский конденсатор, пусть он заряжен и отсоединен от батареи. Можно вычислить силу притяжения пластин друг к другу и поделить ее на площадь пластин. При этом получился характерное давление электростатических сил на пластины. С другой стороны, можно вычислить энергию заключенную в конденсаторе, и поделить ее на объем конденсатора. Мы предоставляем читателям убедиться самим в том, что «электростатическое» давление и плотность электростатической энергии в точности равны друг другу. Быть может, после этого приведенные выше рассуждения покажутся более естественными. Полученный выше результат следует, конечно, и из точного расчета.
Оцените минимальное значение радиуса не слишком большой твердой планеты, не имеющей жидкого ядра, если средний модуль Юнга вещества планеты равен $E$, а ее масса равна $M$.
Решение:
Для того, чтобы могла существовать полностью «твердотельная» планета, нужно, чтобы гравитационное давление в центре ее (там оно максимально) «не раздарило» бы твердое тело. Другими словами, гравитационное давление не должно превышать модуль Юнга. Модуль Юнга меняется, конечно, по мере продвижения в глубь планеты. Однако для не слишком больших планет эти изменения не очень велики - по порядку величины модуль Юнга в глубине примерно таков же, как и вблизи поверхности. Например, для кристаллических планет с массой и радиусом такими же, как у Земли, модуль Юнга меняется всего в несколько раз и во всяком случае не на порядок. Если бы плотность вещества была постоянна вдоль радиуса планеты, модуль Юнга вообще не менялся бы. (Заметьте, кстати, что плотность у поверхности и в центре Земли отличается примерно в три раза, но не на порядок!) Гравитационное давление в центре планеты можно грубо оценить, используя соображения размерности: $p_{c} \sim \frac{ \gamma M^{2}}{R^{4}}$, $\gamma$ - гравитационная постоянная, $R$ - радиус планеты. Можно посмотреть на эту формулу и с другой точки зрения: величина $\frac{ \gamma M^{2}}{R}$ - есть гравитационная энергия планеты, поделив ее на объем планеты $\sim R^{3}$, мы получаем плотность гравитационной энергии $\sim \frac{ \gamma M^{2}}{R^{4}}$. Размерность плотности энергии такова же, как и размерность давления. Поэтому можно «надеяться», что они просто пропорциональны друг другу. Разумеется, мы не можем с помощью таких рассуждений найти численные коэффициенты в написанных формулах. Можно допустить, что для грубых оценок мы можем «забыть» о численных коэффициентах и считать, что по порядку величины давление в центре равно $\frac{ \gamma M^{2}}{R^{4}}$. Другими словами, мы считаем недостающие численные коэффициенты числами порядка единицы. При этом предположении мы можем написать приближенное неравенство, устанавливающее связь массы и радиуса для полностью «твердотельной» планеты: $E \geq \frac{ \gamma M^{2}}{R^{4}}$, или $R^{4} \geq \frac{ \gamma M^{2} }{E}$. По порядку величины минимальный радиус есть $R_{min} \sim \left ( \frac{ \gamma M^{2}}{E} \right )^{2/4}$. Разумеется, мы должны предположить еще, что планета холодная - температура ее недр должна быть много меньше характерной температуры плавления вещества, из которого эта планета и0 строена. Понять связь плотности энергии и давления могает еще такая аналогия. Пусть у нас есть плоский конденсатор, пусть он заряжен и отсоединен от батареи. Можно вычислить силу притяжения пластин друг к другу и поделить ее на площадь пластин. При этом получился характерное давление электростатических сил на пластины. С другой стороны, можно вычислить энергию заключенную в конденсаторе, и поделить ее на объем конденсатора. Мы предоставляем читателям убедиться самим в том, что «электростатическое» давление и плотность электростатической энергии в точности равны друг другу. Быть может, после этого приведенные выше рассуждения покажутся более естественными. Полученный выше результат следует, конечно, и из точного расчета.
