Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10544
2019-05-21 
На абсолютно упругой плоскости лежит упругий шарик массы $m/n$. С некоторой высоты на ту же плоскость падает другой, также упругий, шарик массы $m$. При этом он передает первому шарику $1/k$ - часть своей энергии. При каком соотношении между $k$ и $n$ шарики снова встретятся на плоскости?
Решение:
Пусть энергия второго шарика перед первым ударом о плоскость равнялась $E$. Тогда после этого удара энергия первого шарика $\frac{1}{2} \frac{m}{n} v_{1}^{2} = \frac{E}{k}$, а энергия второго шарика $\frac{1}{2} mv_{2}^{2} = E \left ( 1 - \frac{1}{k} \right ); v_{1}$ и $v_{2}$ - скорости соответственно первого и второго шариков, с которыми они взлетают с плоскости после первого падения на нее второго шарика. Из написанных равенств следует, что $\frac{v_{1}^{2} }{v_{2}^{2} } = \frac{n}{k - 1}$. Между последующими ударами первого шарика о плоскость проходит время $t_{1} = \frac{2v_{1}}{g}$, а второго - $t_{2} = \frac{2v_{2}}{g}$. Пусть шарики встретятся на плоскости при $p$-ом ударе, первого и $(q + 1)$-ом ударе второго. Тогда $pl_{1} = ql_{2}$, следовательно, $\frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{q}{p}$. Ho $\left ( \frac{v_{1}}{v_{2}} \right )^{2} = \frac{n}{k - 1}$, а значит, должно быть $\frac{q}{p} = \sqrt{ \frac{n}{k - 1}}$, другими словами, число $\sqrt{ \frac{n}{k - 1} }$ должно быть рациональным.
На абсолютно упругой плоскости лежит упругий шарик массы $m/n$. С некоторой высоты на ту же плоскость падает другой, также упругий, шарик массы $m$. При этом он передает первому шарику $1/k$ - часть своей энергии. При каком соотношении между $k$ и $n$ шарики снова встретятся на плоскости?
Решение:
Пусть энергия второго шарика перед первым ударом о плоскость равнялась $E$. Тогда после этого удара энергия первого шарика $\frac{1}{2} \frac{m}{n} v_{1}^{2} = \frac{E}{k}$, а энергия второго шарика $\frac{1}{2} mv_{2}^{2} = E \left ( 1 - \frac{1}{k} \right ); v_{1}$ и $v_{2}$ - скорости соответственно первого и второго шариков, с которыми они взлетают с плоскости после первого падения на нее второго шарика. Из написанных равенств следует, что $\frac{v_{1}^{2} }{v_{2}^{2} } = \frac{n}{k - 1}$. Между последующими ударами первого шарика о плоскость проходит время $t_{1} = \frac{2v_{1}}{g}$, а второго - $t_{2} = \frac{2v_{2}}{g}$. Пусть шарики встретятся на плоскости при $p$-ом ударе, первого и $(q + 1)$-ом ударе второго. Тогда $pl_{1} = ql_{2}$, следовательно, $\frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{q}{p}$. Ho $\left ( \frac{v_{1}}{v_{2}} \right )^{2} = \frac{n}{k - 1}$, а значит, должно быть $\frac{q}{p} = \sqrt{ \frac{n}{k - 1}}$, другими словами, число $\sqrt{ \frac{n}{k - 1} }$ должно быть рациональным.
