Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1054
2016-09-18 
На старинных кораблях для подъёма якоря использовался кабестан — ворот, представлявший собой цилиндрическое бревно, к которому прикреплены одинаковые длинные ручки (см. рисунок). Матросы, отвечавшие за подъём якоря (якорная команда), наваливались на концы ручек, в результате чего ворот вращался, и якорная цепь наматывалась на бревно. Капитан, собираясь в дальнее плавание, приказал утяжелить якорь, после чего выяснилось, что прежняя якорная команда с трудом поднимает якорь только до поверхности воды. Чтобы исправить ситуацию, капитан распорядился переделать ворот. Пренебрегая трением и массой цепи, найдите, во сколько раз нужно удлинить ручки кабестана, чтобы прежняя якорная команда могла поднимать новый якорь до борта. Плотности воды и материала якоря $1 г/см^{3}$ и $8 г/см^{3}$ соответственно.
Решение:
усть $r$ — радиус бревна кабестана, $R$ — расстояние от оси старого кабестана до концов его ручек, $M$ — масса нового якоря, $V_{я}$ — его объём. Из условия известно, что якорная команда, пользуясь старым воротом, поднимает новый якорь только до уровня воды. Значит, в этом положении момент силы $F$, с которой матросы действуют на концы ручек ворота, равен моменту силы натяжения цепи, которая, в свою очередь, равна сумме сил тяжести и Архимеда, действующих на якорь. Запишем уравнение моментов:
$RF = r(Mg - \rho_{в} g V_{я}) = r \left ( Mg - \rho_{в} g \frac{M}{ \rho_{я}} \right ) = Mgr \left ( 1 - \frac{ \rho_{в}}{ \rho_{я}} \right )$.
Здесь $\rho_{в}$ и $\rho_{я}$ — плотности воды и якоря соответственно.
После удлинения ручек кабестана матросы, прикладывая прежнюю силу $F$, могут полностью вытащить якорь из воды. Это означает, что для нового ворота при полностью поднятом якоре справедливо уравнение моментов
$R_{1}F = Mgr$,
где $R_{1}$ — длина новых ручек ворота. Из полученных уравнений легко найти отношение длин ручек нового и старого кабестанов:
$k = \frac{R_{1}}{R} = \frac{1}{1 - \frac{ \rho_{в}}{ \rho_{н}}} = \frac{8}{7} \approx 1,14 раза$.
На старинных кораблях для подъёма якоря использовался кабестан — ворот, представлявший собой цилиндрическое бревно, к которому прикреплены одинаковые длинные ручки (см. рисунок). Матросы, отвечавшие за подъём якоря (якорная команда), наваливались на концы ручек, в результате чего ворот вращался, и якорная цепь наматывалась на бревно. Капитан, собираясь в дальнее плавание, приказал утяжелить якорь, после чего выяснилось, что прежняя якорная команда с трудом поднимает якорь только до поверхности воды. Чтобы исправить ситуацию, капитан распорядился переделать ворот. Пренебрегая трением и массой цепи, найдите, во сколько раз нужно удлинить ручки кабестана, чтобы прежняя якорная команда могла поднимать новый якорь до борта. Плотности воды и материала якоря $1 г/см^{3}$ и $8 г/см^{3}$ соответственно.
Решение:
усть $r$ — радиус бревна кабестана, $R$ — расстояние от оси старого кабестана до концов его ручек, $M$ — масса нового якоря, $V_{я}$ — его объём. Из условия известно, что якорная команда, пользуясь старым воротом, поднимает новый якорь только до уровня воды. Значит, в этом положении момент силы $F$, с которой матросы действуют на концы ручек ворота, равен моменту силы натяжения цепи, которая, в свою очередь, равна сумме сил тяжести и Архимеда, действующих на якорь. Запишем уравнение моментов:
$RF = r(Mg - \rho_{в} g V_{я}) = r \left ( Mg - \rho_{в} g \frac{M}{ \rho_{я}} \right ) = Mgr \left ( 1 - \frac{ \rho_{в}}{ \rho_{я}} \right )$.
Здесь $\rho_{в}$ и $\rho_{я}$ — плотности воды и якоря соответственно.
После удлинения ручек кабестана матросы, прикладывая прежнюю силу $F$, могут полностью вытащить якорь из воды. Это означает, что для нового ворота при полностью поднятом якоре справедливо уравнение моментов
$R_{1}F = Mgr$,
где $R_{1}$ — длина новых ручек ворота. Из полученных уравнений легко найти отношение длин ручек нового и старого кабестанов:
$k = \frac{R_{1}}{R} = \frac{1}{1 - \frac{ \rho_{в}}{ \rho_{н}}} = \frac{8}{7} \approx 1,14 раза$.
