Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10530
2019-05-21 
По гладкому горизонтальному проволочному кольцу могут без трения скользить две абсолютно упругие бусинки с массами $m_{1}$ и $m_{2}$. В начальный момент между бусинками помещена сжатая пружинка, а бусинки скреплены нитью. Нить пережигают. Где столкнутся бусинки в $n$-й раз? Размеры бусинок и пружинки много меньше радиуса кольца.
Решение:
Первоначально бусинки покоились. После пережигания нити они стали ускоряться силой сжатой пружины, помещенной между ними. Трение отсутствует, поэтому единственная сила, изменяющая абсолютное значение скорости бусинок,- это сила упругости пружины. Под действием этой силы бусинки ускоряются таким образом, что в каждый момент времени их ускорения будут обратно пропорциональны их массам, так как на них действуют одинаковые по величине силы. Время, в течение которого бусинки ускоряются, для обеих бусинок одно и то же. Значит и их конечные скорости будут относиться как ускорения: $\frac{v_{1}}{v_{2} } = \frac{m_{2} }{m_{1} }$. Пути, пройденные бусинками до их первого соударения, будут пропорциональны их скоростям, а положение точки, в которой они столкнутся, будет определяться условием: $\frac{s_{1}}{s_{2}} = \frac{m_{2}}{m_{1}}$. Мы считаем при этом, что пружинка «выкинулась» после того, как бусинки разошлись из начальной точки. При соударении справедлив закон сохранения импульса:
$m_{1}v_{1} - m_{2}v_{2} = m_{1} v_{1}^{ \prime} - m_{2}v_{2}^{ \prime}$ Но $m_{1}v_{1} = m_{2}v_{2}$,
поэтому $\frac{v_{1}^{ \prime}}{v_{2}^{ \prime} } = \frac{m_{2} }{m_{1} } $. Кроме того, скорости изменят знаки - бусинки не могут пройти одна сквозь другую и начнут после столкновения двигаться в обратном направлении. После первого столкновения бусинки опять пройдут до следующего пути, обратно пропорциональные их массам, то есть те же самые пути $s_{1}$ и $s_{2}$. Во второй раз они столкнутся в той точке, откуда они начинали свое движение. Далее все будет повторяться - все четные столкновения будут происходить в начальной точке, а все нечетные - в той же точке, что и первое. Ситуация не изменится, если пружинку считать скрепленной с одной из бусинок, но при этом имеющей массу, много меньшую массы бусинки. Если это так, то все четные столкновения будут происходить через пружинку, а все нечетные - при непосредственном воздействии бусинок друг на друга.
По гладкому горизонтальному проволочному кольцу могут без трения скользить две абсолютно упругие бусинки с массами $m_{1}$ и $m_{2}$. В начальный момент между бусинками помещена сжатая пружинка, а бусинки скреплены нитью. Нить пережигают. Где столкнутся бусинки в $n$-й раз? Размеры бусинок и пружинки много меньше радиуса кольца.
Решение:
Первоначально бусинки покоились. После пережигания нити они стали ускоряться силой сжатой пружины, помещенной между ними. Трение отсутствует, поэтому единственная сила, изменяющая абсолютное значение скорости бусинок,- это сила упругости пружины. Под действием этой силы бусинки ускоряются таким образом, что в каждый момент времени их ускорения будут обратно пропорциональны их массам, так как на них действуют одинаковые по величине силы. Время, в течение которого бусинки ускоряются, для обеих бусинок одно и то же. Значит и их конечные скорости будут относиться как ускорения: $\frac{v_{1}}{v_{2} } = \frac{m_{2} }{m_{1} }$. Пути, пройденные бусинками до их первого соударения, будут пропорциональны их скоростям, а положение точки, в которой они столкнутся, будет определяться условием: $\frac{s_{1}}{s_{2}} = \frac{m_{2}}{m_{1}}$. Мы считаем при этом, что пружинка «выкинулась» после того, как бусинки разошлись из начальной точки. При соударении справедлив закон сохранения импульса:
$m_{1}v_{1} - m_{2}v_{2} = m_{1} v_{1}^{ \prime} - m_{2}v_{2}^{ \prime}$ Но $m_{1}v_{1} = m_{2}v_{2}$,
поэтому $\frac{v_{1}^{ \prime}}{v_{2}^{ \prime} } = \frac{m_{2} }{m_{1} } $. Кроме того, скорости изменят знаки - бусинки не могут пройти одна сквозь другую и начнут после столкновения двигаться в обратном направлении. После первого столкновения бусинки опять пройдут до следующего пути, обратно пропорциональные их массам, то есть те же самые пути $s_{1}$ и $s_{2}$. Во второй раз они столкнутся в той точке, откуда они начинали свое движение. Далее все будет повторяться - все четные столкновения будут происходить в начальной точке, а все нечетные - в той же точке, что и первое. Ситуация не изменится, если пружинку считать скрепленной с одной из бусинок, но при этом имеющей массу, много меньшую массы бусинки. Если это так, то все четные столкновения будут происходить через пружинку, а все нечетные - при непосредственном воздействии бусинок друг на друга.
