Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10527
2019-05-21 
В плоскости (X, Y) находятся N неподвижных одинаковых шаров. Параллельно оси X в отрицательном направлении движется еще один точно такой же шар. Какое максимальное число шаров может после всех происшедших столкновений получить скорость, имеющую ненулевую положительную составляющую вдоль оси Х? Плоскость считается гладкой, а соударения - упругими.
Решение:
Обсуждение этой задачи будет состоять из нескольких этапов. Заметим сначала, что искомое число шаров не может быть равно $(N + 1)$, так как в противном случае импульс системы имел бы положительную составляющую вдоль оси X, но полный импульс системы сохраняется и равен импульсу первоначально двигавшегося шара, т. е. направлен в отрицательном направлении оси X. Искомое число шаров не может равняться и $N$. Если бы это было так, то шар, который будет двигаться в отрицательном направлении оси X (чтобы компенсировать положительную Х-вую составляющую импульса $N$ шаров), имел бы скорость вдоль оси X большую, чем скорость первоначально (до всех столкновений) двигавшегося шара. Закон сохранения импульса мы должны были бы записать так: $mV_{x} - mV = P_{x}$, здесь $V$ - скорость первоначально двигавшегося шара, $V_{x}$ - Х-вая составляющая скорости «компенсирующего» шара; $P_{x}$ - X -вая компонента импульса $N$ шаров. Но в этом случае оказалось бы, что кинетическая энергия «компенсирующего» шара больше кинетической энергии первоначально двигавшегося шара:
$\frac{m}{2}(V_{x}^{2} + V_{y}^{2}) \geq \frac{m}{2}V_{x}^{2} > \frac{m}{2} V^{2}$.
Тем самым мы доказали, что искомое число не равно $N$.
Докажем, что шары можно расставить на плоскости так, что после всех столкновений $(N-1)$ шар приобрету положительную скорость вдоль оси X. Для этого сделаем несколько простых утверждений:
У-1. Можно так поставить неподвижный шар на пути движущегося, что движущийся шар после удара отклонится на произвольный наперед заданный малый угол. Это ясно из того, что шар можно поставить так, что налетающий шар только немного его коснется, а значит, и отклонится несильно.
У-2. При столкновении двух одинаковых шаров, из которых один до столкновения покоился, шары разлетаются под углом $90^{ \circ}$. Докажем это. Закон сохранения импульса эквивалентен условию: $\vec{V} = \vec{U}_{1} + \vec{U}_{2}, \vec{V}$ - скорость налетающего шара, $\vec{U}_{1}$ и $\vec{U}_{2}$ - скорости шаров после столкновения. Векторы $\vec{V}, \vec{U}_{1}$ и $\vec{U}_{2}$ образуют треугольник, а из закона сохранения энергии вытекает: $V^{2} = U_{1}^{2} + U_{2}^{2}$. Другими словами, треугольник прямоугольный, а значит, векторы $\vec{U}_{1}$ и $\vec{U}_{2}$ перпендикулярны друг другу.
У-3. Неподвижный шар можно поставить так, что если налетающий шар имеет положительную составляющую скорости вдоль оси X, то после столкновения скорости обоих шаров будут иметь положительные составляющие вдоль этой же оси. Это утверждение является следствием У-1 и У-2. В самом деле, пусть скорость налетающего шара $\vec{V}$ направлена под углом $\alpha < 90^{ \circ}$ к оси X. В силу У-1 неподвижный шар можно поставить так, что скорость первого шара после столкновения $- \vec{U}_{1}$ будет составлять с $\vec{V}$ угол $\beta = \frac{1}{2} (90^{ \circ} - \alpha)$, а с осью X - угол $( \alpha + \beta ) = \frac{1}{2}( \alpha + 90^{ \circ} ) < 90^{ \circ}$. Скорость $\vec{U}_{2}$ в силу У-2, будет направлена под углом $90^{ \circ}$ к скорости $\vec{U}_{1}$, а с осью X составит угол $\frac{1}{2} (90^{ \circ} - \alpha ) < 90^{ \circ}$, то есть обе скорости $\vec{U}_{1}$ и $\vec{U}_{2}$ будут иметь положительные составляющие вдоль оси X.
Перейдем теперь к доказательству основного утверждения. Перенумеруем шары, которые первоначально были неподвижными, номерами 1, 2, 3, 4,... Первоначально двигавшийся шар будем обозначать буквой О. Шар 1 поставим на пути шара О так, чтобы шар О после столкновения отклонился на $10^{ \circ}$. Это можно сделать (У-1). Шар 1, в силу У-2, полетит тогда под углом $80^{ \circ}$ к отрицательному направлению оси X. На пути шара 1 поставим шар 2 так, чтобы шар 1 отклонился после столкновения с шаром 2 на угол $10^{ \circ}$. Шар 2 полетит под углом $20^{ \circ}$ к положительному направлению оси X. Шар 2 имеет положительную составляющую скорости вдоль оси X, поэтому в силу у-3, шар 3 можно поставить так, чтобы после столкновения шаров 2 и 3 оба они имели скорости в положительном направлении оси X. Аналогично дальше - на сути шаров 2 и 3 поставим шары 4 и 5 соответственно так, чтобы все шары: 2, 3, 4 и 5 после столкновений продолжали двигаться в положительном направлении оси X. Эта процедура повторяется да полного исчерпания запаса шаров.
В плоскости (X, Y) находятся N неподвижных одинаковых шаров. Параллельно оси X в отрицательном направлении движется еще один точно такой же шар. Какое максимальное число шаров может после всех происшедших столкновений получить скорость, имеющую ненулевую положительную составляющую вдоль оси Х? Плоскость считается гладкой, а соударения - упругими.
Решение:
Обсуждение этой задачи будет состоять из нескольких этапов. Заметим сначала, что искомое число шаров не может быть равно $(N + 1)$, так как в противном случае импульс системы имел бы положительную составляющую вдоль оси X, но полный импульс системы сохраняется и равен импульсу первоначально двигавшегося шара, т. е. направлен в отрицательном направлении оси X. Искомое число шаров не может равняться и $N$. Если бы это было так, то шар, который будет двигаться в отрицательном направлении оси X (чтобы компенсировать положительную Х-вую составляющую импульса $N$ шаров), имел бы скорость вдоль оси X большую, чем скорость первоначально (до всех столкновений) двигавшегося шара. Закон сохранения импульса мы должны были бы записать так: $mV_{x} - mV = P_{x}$, здесь $V$ - скорость первоначально двигавшегося шара, $V_{x}$ - Х-вая составляющая скорости «компенсирующего» шара; $P_{x}$ - X -вая компонента импульса $N$ шаров. Но в этом случае оказалось бы, что кинетическая энергия «компенсирующего» шара больше кинетической энергии первоначально двигавшегося шара:
$\frac{m}{2}(V_{x}^{2} + V_{y}^{2}) \geq \frac{m}{2}V_{x}^{2} > \frac{m}{2} V^{2}$.
Тем самым мы доказали, что искомое число не равно $N$.
Докажем, что шары можно расставить на плоскости так, что после всех столкновений $(N-1)$ шар приобрету положительную скорость вдоль оси X. Для этого сделаем несколько простых утверждений:
У-1. Можно так поставить неподвижный шар на пути движущегося, что движущийся шар после удара отклонится на произвольный наперед заданный малый угол. Это ясно из того, что шар можно поставить так, что налетающий шар только немного его коснется, а значит, и отклонится несильно.
У-2. При столкновении двух одинаковых шаров, из которых один до столкновения покоился, шары разлетаются под углом $90^{ \circ}$. Докажем это. Закон сохранения импульса эквивалентен условию: $\vec{V} = \vec{U}_{1} + \vec{U}_{2}, \vec{V}$ - скорость налетающего шара, $\vec{U}_{1}$ и $\vec{U}_{2}$ - скорости шаров после столкновения. Векторы $\vec{V}, \vec{U}_{1}$ и $\vec{U}_{2}$ образуют треугольник, а из закона сохранения энергии вытекает: $V^{2} = U_{1}^{2} + U_{2}^{2}$. Другими словами, треугольник прямоугольный, а значит, векторы $\vec{U}_{1}$ и $\vec{U}_{2}$ перпендикулярны друг другу.
У-3. Неподвижный шар можно поставить так, что если налетающий шар имеет положительную составляющую скорости вдоль оси X, то после столкновения скорости обоих шаров будут иметь положительные составляющие вдоль этой же оси. Это утверждение является следствием У-1 и У-2. В самом деле, пусть скорость налетающего шара $\vec{V}$ направлена под углом $\alpha < 90^{ \circ}$ к оси X. В силу У-1 неподвижный шар можно поставить так, что скорость первого шара после столкновения $- \vec{U}_{1}$ будет составлять с $\vec{V}$ угол $\beta = \frac{1}{2} (90^{ \circ} - \alpha)$, а с осью X - угол $( \alpha + \beta ) = \frac{1}{2}( \alpha + 90^{ \circ} ) < 90^{ \circ}$. Скорость $\vec{U}_{2}$ в силу У-2, будет направлена под углом $90^{ \circ}$ к скорости $\vec{U}_{1}$, а с осью X составит угол $\frac{1}{2} (90^{ \circ} - \alpha ) < 90^{ \circ}$, то есть обе скорости $\vec{U}_{1}$ и $\vec{U}_{2}$ будут иметь положительные составляющие вдоль оси X.
Перейдем теперь к доказательству основного утверждения. Перенумеруем шары, которые первоначально были неподвижными, номерами 1, 2, 3, 4,... Первоначально двигавшийся шар будем обозначать буквой О. Шар 1 поставим на пути шара О так, чтобы шар О после столкновения отклонился на $10^{ \circ}$. Это можно сделать (У-1). Шар 1, в силу У-2, полетит тогда под углом $80^{ \circ}$ к отрицательному направлению оси X. На пути шара 1 поставим шар 2 так, чтобы шар 1 отклонился после столкновения с шаром 2 на угол $10^{ \circ}$. Шар 2 полетит под углом $20^{ \circ}$ к положительному направлению оси X. Шар 2 имеет положительную составляющую скорости вдоль оси X, поэтому в силу у-3, шар 3 можно поставить так, чтобы после столкновения шаров 2 и 3 оба они имели скорости в положительном направлении оси X. Аналогично дальше - на сути шаров 2 и 3 поставим шары 4 и 5 соответственно так, чтобы все шары: 2, 3, 4 и 5 после столкновений продолжали двигаться в положительном направлении оси X. Эта процедура повторяется да полного исчерпания запаса шаров.
