Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10524
2019-05-12 
Для осциллятора, потенциальная энергия которого зависит от координаты по степенному закону $U(x) = kx^{N}$, с помощью изменения временного и пространственного масштабов движения установите вид зависимости периода колебаний от амплитуды. Обсудите отдельно случаи $N = 2$ (классический линейный осциллятор) и $N = 4$.
Решение:
Запишем закон сохранения энергии осциллятора:
$E = \frac{m \dot{x}^{2} }{2} + kx^{N}$.
Изменим пространственный масштаб в $\alpha$ раз, а временной - в $\beta$ раз. Тогда получим:
$E = \frac{ \alpha^{2} m \dot{x}^{2} }{2 \beta^{2} } + \alpha^{N} kx^{N} = \frac{ \alpha^{2} }{ \beta^{2} } \left ( \frac{m \dot{x}^{2} }{2} + \alpha^{N - 2} \beta^{2} kx^{N} \right )$.
Отсюда следует, что при соотношении геометрического и временного масштаба $\alpha^{ N - 2} \beta^{2} = 1$ движение будет подобным. Поэтому амплитуда колебаний и период связаны соотношением:
$T = C \cdot A^{ \frac{2 -N }{2}}$.
Из полученного выражения вытекает, что при $N = 2$ справедливо $T = C$. Таким образом, период колебаний для квадратичного потенциала не зависит от амплитуды - известное свойство линейного осциллятора. Интересно, что это свойство уникально: оно выполняется только для квадратичного потенциала. А, например, при $N = 4$ получаем:
$T = \frac{C}{A}$.
Период зависит от амплитуды, причем увеличивается неограниченно при стремлении амплитуды к нулю. С физической точки зрения это понятно: потенциальная яма четвертой степени очень "плоская".
Для осциллятора, потенциальная энергия которого зависит от координаты по степенному закону $U(x) = kx^{N}$, с помощью изменения временного и пространственного масштабов движения установите вид зависимости периода колебаний от амплитуды. Обсудите отдельно случаи $N = 2$ (классический линейный осциллятор) и $N = 4$.
Решение:
Запишем закон сохранения энергии осциллятора:
$E = \frac{m \dot{x}^{2} }{2} + kx^{N}$.
Изменим пространственный масштаб в $\alpha$ раз, а временной - в $\beta$ раз. Тогда получим:
$E = \frac{ \alpha^{2} m \dot{x}^{2} }{2 \beta^{2} } + \alpha^{N} kx^{N} = \frac{ \alpha^{2} }{ \beta^{2} } \left ( \frac{m \dot{x}^{2} }{2} + \alpha^{N - 2} \beta^{2} kx^{N} \right )$.
Отсюда следует, что при соотношении геометрического и временного масштаба $\alpha^{ N - 2} \beta^{2} = 1$ движение будет подобным. Поэтому амплитуда колебаний и период связаны соотношением:
$T = C \cdot A^{ \frac{2 -N }{2}}$.
Из полученного выражения вытекает, что при $N = 2$ справедливо $T = C$. Таким образом, период колебаний для квадратичного потенциала не зависит от амплитуды - известное свойство линейного осциллятора. Интересно, что это свойство уникально: оно выполняется только для квадратичного потенциала. А, например, при $N = 4$ получаем:
$T = \frac{C}{A}$.
Период зависит от амплитуды, причем увеличивается неограниченно при стремлении амплитуды к нулю. С физической точки зрения это понятно: потенциальная яма четвертой степени очень "плоская".
