Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10523
2019-05-12 
Тело остывает за счет излучения теплоты в соответствии с законом Сте-фана-Больцмана. Чем отличается закон изменения температуры во времени для тела, все размеры которого увеличены в 2 раза?
Решение:
По закону Стефана-Больцмана тело излучает в единицу времени энергию $E = \sigma T^{4}S$. Энергия, запасенная телом, зависит от его массы, удельной теплоемкости и температуры $Q= cmT$. Таким образом, температура подчиняется дифференциальному уравнению
$cm \frac{dT}{dt}= - \sigma T^{4} S$.
Оно допускает аналитическое решение, но чтобы дать ответ к задаче, решать его не обязательно. Действительно, можно ввести безразмерное время $t = \alpha \tau$, для которого
$\frac{dT}{d \tau} = - T^{4}$.
Причем $\alpha = \frac{S \sigma}{cm}$. Таким образом, зависимости температуры отличаются лишь масштабом времени. При увеличении размера в 2 раза, масса тела возрастает в 8 раз, а площадь - в 4 раза. Поэтому масштаб времени измениться точно в 2 раза, и крупное тело будет остывать медленнее.
Тело остывает за счет излучения теплоты в соответствии с законом Сте-фана-Больцмана. Чем отличается закон изменения температуры во времени для тела, все размеры которого увеличены в 2 раза?
Решение:
По закону Стефана-Больцмана тело излучает в единицу времени энергию $E = \sigma T^{4}S$. Энергия, запасенная телом, зависит от его массы, удельной теплоемкости и температуры $Q= cmT$. Таким образом, температура подчиняется дифференциальному уравнению
$cm \frac{dT}{dt}= - \sigma T^{4} S$.
Оно допускает аналитическое решение, но чтобы дать ответ к задаче, решать его не обязательно. Действительно, можно ввести безразмерное время $t = \alpha \tau$, для которого
$\frac{dT}{d \tau} = - T^{4}$.
Причем $\alpha = \frac{S \sigma}{cm}$. Таким образом, зависимости температуры отличаются лишь масштабом времени. При увеличении размера в 2 раза, масса тела возрастает в 8 раз, а площадь - в 4 раза. Поэтому масштаб времени измениться точно в 2 раза, и крупное тело будет остывать медленнее.
