Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1051
2016-09-18 
«Хитрый» продавец на рынке торгует рыбой, взвешивая её на весах, сделанных из палки и верёвки (см. рисунок), причём не обманывает покупателей. Покупателю разрешается взвесить рыбу самому, но при условии, что рыба помещается только на левую чашку весов и не снимается до момента расплаты. Продавец разрешает провести максимум два взвешивания, предоставляя покупателю набор гирь. Как определить массу понравившейся вам рыбы? «Коромысло» весов с пустыми чашками занимает горизонтальное положение.
Решение:
Из рисунка (в условии задачи) понятно, что продавец использует неравноплечие весы, причём длины плеч весов неизвестны и по условию задачи измерять их нельзя! Сначала, ради интереса, рассмотрим, как взвешивает рыбу продавец. Он может взвесить рыбу сначала на одной чашке весов, уравновесив её гирями массой $m_{1}$, а затем на второй чашке, уравновесив её гирями массой $m_{2}$. Обозначим длину одного из плеч весов $a$, а другого $b$. Тогда условия равновесия весов при первом и втором взвешиваниях запишутся в виде:
$ma = m_{1}b, m_{2}a = mb$,
где $m$ — неизвестная масса рыбы. Разделив эти соотношения друг на друга, получим: $m^{2} = m_{1}m_{2}$, откуда $m = \sqrt{m_{1} m_{2}}$.
Покупателю этот путь недоступен, так как рыба всё время лежит на одной чашке весов. Однако, он может взвесить рыбу сначала на одной чашке весов, уравновесив её гирями массой $m_{1}$, а затем может добавить на чашку, где лежит рыба, гирю известной массы $m_{3}$, и вновь провести взвешивание. При этом чашка с рыбой и гирей будет уравновешена гирями массой $m_{4}$. Условия равновесия весов в этом случае запишутся в виде:
$ma = m_{1}b, (m + m_{3})a = m_{4}b$.
Разделив эти соотношения друг на друга, получим:
$\frac{m}{m+m_{3}} = \frac{m_{1}}{m_{4}}$,
откуда для истинной величины массы рыбы $m$ получается следующее выражение:
$m = \frac{m_{1}m_{3}}{m_{4} - m_{1}}$.
Так как в знаменателе стоит разность масс гирь при двух взвешиваниях, то для повышения точности измерений необходимо, чтобы эта разность была не очень мала, то есть нужно, чтобы массы $m_{1}$ и $m_{4}$ были не очень близки. Этого можно достичь, выбирая гирю $m_{3}$ побольше, тогда полученный результат будет точнее.
«Хитрый» продавец на рынке торгует рыбой, взвешивая её на весах, сделанных из палки и верёвки (см. рисунок), причём не обманывает покупателей. Покупателю разрешается взвесить рыбу самому, но при условии, что рыба помещается только на левую чашку весов и не снимается до момента расплаты. Продавец разрешает провести максимум два взвешивания, предоставляя покупателю набор гирь. Как определить массу понравившейся вам рыбы? «Коромысло» весов с пустыми чашками занимает горизонтальное положение.
Решение:
Из рисунка (в условии задачи) понятно, что продавец использует неравноплечие весы, причём длины плеч весов неизвестны и по условию задачи измерять их нельзя! Сначала, ради интереса, рассмотрим, как взвешивает рыбу продавец. Он может взвесить рыбу сначала на одной чашке весов, уравновесив её гирями массой $m_{1}$, а затем на второй чашке, уравновесив её гирями массой $m_{2}$. Обозначим длину одного из плеч весов $a$, а другого $b$. Тогда условия равновесия весов при первом и втором взвешиваниях запишутся в виде:
$ma = m_{1}b, m_{2}a = mb$,
где $m$ — неизвестная масса рыбы. Разделив эти соотношения друг на друга, получим: $m^{2} = m_{1}m_{2}$, откуда $m = \sqrt{m_{1} m_{2}}$.
Покупателю этот путь недоступен, так как рыба всё время лежит на одной чашке весов. Однако, он может взвесить рыбу сначала на одной чашке весов, уравновесив её гирями массой $m_{1}$, а затем может добавить на чашку, где лежит рыба, гирю известной массы $m_{3}$, и вновь провести взвешивание. При этом чашка с рыбой и гирей будет уравновешена гирями массой $m_{4}$. Условия равновесия весов в этом случае запишутся в виде:
$ma = m_{1}b, (m + m_{3})a = m_{4}b$.
Разделив эти соотношения друг на друга, получим:
$\frac{m}{m+m_{3}} = \frac{m_{1}}{m_{4}}$,
откуда для истинной величины массы рыбы $m$ получается следующее выражение:
$m = \frac{m_{1}m_{3}}{m_{4} - m_{1}}$.
Так как в знаменателе стоит разность масс гирь при двух взвешиваниях, то для повышения точности измерений необходимо, чтобы эта разность была не очень мала, то есть нужно, чтобы массы $m_{1}$ и $m_{4}$ были не очень близки. Этого можно достичь, выбирая гирю $m_{3}$ побольше, тогда полученный результат будет точнее.
