ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-05-12   
Для планеты из несжимаемой жидкости массы $M$ и объема $V$, вращающейся с угловой скоростью $\omega$, напишите формулу для давления в центре.


Решение:


Выпишем величины, от которых зависит давление $p, [p]=кг \cdot м^{-1} \cdot с^{-2}$:

• масса планеты $M, [M]=кг$,
• объем планеты $V, [V]=м^{3}$,
• ее угловая скорость вращения $\omega, [ \omega ] = с^{-1}$,
• универсальная гравитационная постоянная $\gamma, [ \gamma ] = кг^{-1} \cdot м^{3} \cdot с^{-2}$.

Без труда составляем величину с размерностью давления:

$\frac{ \gamma M^{2}}{V^{4/3}}$.

Однако из приведенных величин можно составить и одну безразмерную комбинацию, например, $\frac{ \omega^{2}V }{ \gamma M}$. Поэтому в ответ войдет некоторая функция этого безразмерного параметра. Таким образом,

$p = \frac{ \gamma M^{2} }{V^{4/3} } f \left ( \frac{ \omega^{2}V }{ \gamma M} \right )$,

где $f$ - универсальная безразмерная функция. Если планета не вращается, то

$p = C \frac{ \gamma M^{2}}{V^{4/3} }$,

где $C$ - безразмерная константа. Условие применимости этой формулы имеет, очевидно, вид $\frac{ \omega^{2}V }{ \gamma M} \ll 1$.