Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10491
2019-05-12 
Считая, что максимальная высота гор на Земле ограничена пределом прочности горных пород, оцените размер астероидов, начиная с которого они имеют приближенно шарообразную форму. Считайте, что Земля и астероид сложены из одинаковых пород.
Решение:
Как следует из закона всемирного тяготения, у планет с одинаковой средней плотностью ускорение свободного падения на поверхности пропорционально радиусу планеты. Тогда справедливо равенство:
$\frac{g_{з} }{R_{з}} = \frac{g_{a} }{R_{a} }$.
(Здесь и далее индекс "з" относится к Земле, а индекс "a" - к астероиду). Давление в толще пород у подножья горы на Земле и на астероиде должно быть одинаково по порядку величины, поскольку прочность пород одинакова. Отсюда следует, что
$\rho g_{з}h_{з} = \rho g_{a}h_{a}$,
где $h_{з}$ - высота горы на Земле, а $h_{a}$ - на астероиде. Астероид можно считать шарообразным, если отношение высоты гор к радиусу астероида мало, т. е. $\frac{h_{a}}{R_{a}} \ll 1$. Используя предыдущие соотношения, легко получаем:
$\frac{h_{a} }{R_{a} } \approx \frac{h_{з}R_{з} }{R_{a}^{2} } \ll 1$.
Подставляя $h_{з } \approx 10 км$ и $R_{з} \approx 6400 км$, находим $R_{a} \geq 50 км$. Заметим, что относительная высота гор убывает с ростом радиуса планеты обратно пропорционально квадрату ее радиуса. Проведенная оценка согласуется с результатами фотографирования спутников Марса, Юпитера и Сатурна с космических аппаратов.
Считая, что максимальная высота гор на Земле ограничена пределом прочности горных пород, оцените размер астероидов, начиная с которого они имеют приближенно шарообразную форму. Считайте, что Земля и астероид сложены из одинаковых пород.
Решение:
Как следует из закона всемирного тяготения, у планет с одинаковой средней плотностью ускорение свободного падения на поверхности пропорционально радиусу планеты. Тогда справедливо равенство:
$\frac{g_{з} }{R_{з}} = \frac{g_{a} }{R_{a} }$.
(Здесь и далее индекс "з" относится к Земле, а индекс "a" - к астероиду). Давление в толще пород у подножья горы на Земле и на астероиде должно быть одинаково по порядку величины, поскольку прочность пород одинакова. Отсюда следует, что
$\rho g_{з}h_{з} = \rho g_{a}h_{a}$,
где $h_{з}$ - высота горы на Земле, а $h_{a}$ - на астероиде. Астероид можно считать шарообразным, если отношение высоты гор к радиусу астероида мало, т. е. $\frac{h_{a}}{R_{a}} \ll 1$. Используя предыдущие соотношения, легко получаем:
$\frac{h_{a} }{R_{a} } \approx \frac{h_{з}R_{з} }{R_{a}^{2} } \ll 1$.
Подставляя $h_{з } \approx 10 км$ и $R_{з} \approx 6400 км$, находим $R_{a} \geq 50 км$. Заметим, что относительная высота гор убывает с ростом радиуса планеты обратно пропорционально квадрату ее радиуса. Проведенная оценка согласуется с результатами фотографирования спутников Марса, Юпитера и Сатурна с космических аппаратов.
