Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1049
2016-09-18 
На горизонтальной шероховатой поверхности находятся две одинаковые длинные тонкостенные трубы, оси которых параллельны. Одна из труб покоится, а вторая катится по направлению к ней без проскальзывания со скоростью $v$. Происходит абсолютно упругий удар. Трением труб друг о друга можно пренебречь. Коэффициент трения скольжения между трубами и поверхностью равен $\mu$. На каком максимальном расстоянии друг от друга окажутся трубы после удара?
Решение:
Поскольку трением между трубами во время удара можно пренебречь, удар абсолютно упругий и трубы одинаковы, то после удара катившаяся труба потеряет поступательную компоненту движения, но сохранит вращение, а покоившаяся труба приобретёт поступательное движение, но не будет вращаться. Таким образом, обе трубы начнут проскальзывать относительно поверхности, причём одна из них будет ускоряться, а вторая — замедляться. Величины ускорений обеих труб одинаковы по модулю, направлены в разные стороны и равны $a = \mu g$, поскольку на каждую трубу в горизонтальном направлении действует сила трения $F_{тр} = \mu mg$.
Рассмотрим движение второй трубы, которая приобрела поступательное движение и в начальный момент времени не вращалась (см. рис.). Скорость её оси уменьшается
по закону: $v_{1} = v — at = v — \mu gt$. Линейная скорость точки касания трубы с поверхностью имеет относительно оси трубы скорость: $v_{2} = at = \mu gt$, которая увеличивается. Проскальзывание трубы прекратится в тот момент, когда скорости $v_{1}$ и $v_{2}$ сравняются. Отсюда $v — \mu gt = \mu gt$, и для времени $t_{0}$, через которое прекратится проскальзывание, получаем: $t_{0} = \frac{v}{2 \mu g}$.
Для первой трубы всё будет происходить аналогично, с той лишь разницей, что скорость оси трубы будет нарастать по закону $v_{2} = at = \mu gt$, а линейная скорость точки касания трубы с поверхностью (относительно оси) будет уменьшаться по закону $v_{1} = v — at = v — \mu gt$.
Таким образом, проскальзывание труб прекратится через одинаковое время $t_{0}$, и скорости их движения после этого станут одинаковыми и равными $v/2$. После того, как скорости труб сравняются, расстояние между ними перестанет увеличиваться. Значит, для того, чтобы найти максимальное расстояние между трубами, нужно вычислить разность их координат через время $t_{0}$. Если начало координат поместить в место, где происходит соударение, то для координаты оси первой трубы через время $t_{0}$ имеем:
$x_{1} = - R + \frac{at_{0}^{2}}{2} = - R + \frac{v^{2}}{8 \mu g}$,
а для координаты оси второй трубы через время $t_{0}$:
$x_{2} = R + v_{0}t - \frac{at_{0}^{2}}{2} = R + \frac{3v^{2}}{8 \mu g}$,
где $R$ — радиус трубы. Значит, расстояние между осями труб через время $t_{0}$ будет равно
$S = x_{2} - x_{1} = 2R + \frac{v^{2}}{4 \mu g}$,
а искомое максимальное расстояние между трубами
$L = S - 2R = \frac{v^{2}}{4 \mu g}$.
Это расстояние можно также найти более простым способом: трубы удаляются друг от друга после удара с ускорением $a_{отн} = 2a = 2 \mu g$ в течение времени $t_{0}$, поэтому искомое максимальное расстояние между ними равно $L = \frac{a_{отн}t_{0}^{2}}{2} = \frac{v^{2}}{ 4 \mu g}$.
На горизонтальной шероховатой поверхности находятся две одинаковые длинные тонкостенные трубы, оси которых параллельны. Одна из труб покоится, а вторая катится по направлению к ней без проскальзывания со скоростью $v$. Происходит абсолютно упругий удар. Трением труб друг о друга можно пренебречь. Коэффициент трения скольжения между трубами и поверхностью равен $\mu$. На каком максимальном расстоянии друг от друга окажутся трубы после удара?
Решение:
Поскольку трением между трубами во время удара можно пренебречь, удар абсолютно упругий и трубы одинаковы, то после удара катившаяся труба потеряет поступательную компоненту движения, но сохранит вращение, а покоившаяся труба приобретёт поступательное движение, но не будет вращаться. Таким образом, обе трубы начнут проскальзывать относительно поверхности, причём одна из них будет ускоряться, а вторая — замедляться. Величины ускорений обеих труб одинаковы по модулю, направлены в разные стороны и равны $a = \mu g$, поскольку на каждую трубу в горизонтальном направлении действует сила трения $F_{тр} = \mu mg$.
Рассмотрим движение второй трубы, которая приобрела поступательное движение и в начальный момент времени не вращалась (см. рис.). Скорость её оси уменьшается
по закону: $v_{1} = v — at = v — \mu gt$. Линейная скорость точки касания трубы с поверхностью имеет относительно оси трубы скорость: $v_{2} = at = \mu gt$, которая увеличивается. Проскальзывание трубы прекратится в тот момент, когда скорости $v_{1}$ и $v_{2}$ сравняются. Отсюда $v — \mu gt = \mu gt$, и для времени $t_{0}$, через которое прекратится проскальзывание, получаем: $t_{0} = \frac{v}{2 \mu g}$.
Для первой трубы всё будет происходить аналогично, с той лишь разницей, что скорость оси трубы будет нарастать по закону $v_{2} = at = \mu gt$, а линейная скорость точки касания трубы с поверхностью (относительно оси) будет уменьшаться по закону $v_{1} = v — at = v — \mu gt$.
Таким образом, проскальзывание труб прекратится через одинаковое время $t_{0}$, и скорости их движения после этого станут одинаковыми и равными $v/2$. После того, как скорости труб сравняются, расстояние между ними перестанет увеличиваться. Значит, для того, чтобы найти максимальное расстояние между трубами, нужно вычислить разность их координат через время $t_{0}$. Если начало координат поместить в место, где происходит соударение, то для координаты оси первой трубы через время $t_{0}$ имеем:
$x_{1} = - R + \frac{at_{0}^{2}}{2} = - R + \frac{v^{2}}{8 \mu g}$,
а для координаты оси второй трубы через время $t_{0}$:
$x_{2} = R + v_{0}t - \frac{at_{0}^{2}}{2} = R + \frac{3v^{2}}{8 \mu g}$,
где $R$ — радиус трубы. Значит, расстояние между осями труб через время $t_{0}$ будет равно
$S = x_{2} - x_{1} = 2R + \frac{v^{2}}{4 \mu g}$,
а искомое максимальное расстояние между трубами
$L = S - 2R = \frac{v^{2}}{4 \mu g}$.
Это расстояние можно также найти более простым способом: трубы удаляются друг от друга после удара с ускорением $a_{отн} = 2a = 2 \mu g$ в течение времени $t_{0}$, поэтому искомое максимальное расстояние между ними равно $L = \frac{a_{отн}t_{0}^{2}}{2} = \frac{v^{2}}{ 4 \mu g}$.
